Individuiamo uno schema di calcolo

L’altra settimana, nella mia classe prima, ho lanciato questa  proposta:

Provate ad individuare un trucco per poter calcolare più velocemente il quadrato di un numero la cui cifra delle unità sia uguale a 5?”

L’unico aiuto fornito è stato quello di provare ad eseguire alcuni di questi quadrati ed osservare i risultati ottenuti… Qualcuno ci ha provato davvero ed è riuscito anche a spiegare agli altri compagni.

Volete provare?

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Il cappello della strega

Stamani miei studenti, durante l’ora di matematica, stavano pensando solo alle feste di Halloween …

A loro dedico questa superficie di rotazione: la pseudosfera, a suo tempo (fine 800) detta  “cuffia della nonna”

L’infinito

Caro studente dallo sguardo furbetto, non ci credi proprio che ci sia della bellezza in questi cosi che sono i numeri, vero? Non farti ingannare dagli scribi e i farisei di oggi, quelli che pensano che le cose importanti nella vita siano solo quelle che capiscono e si gloriano di non capire e quindi di odiare la matematica. Che gusto ci sarà, poi, a sbandierare ai quattro venti che non si capisce una cosa, io non lo so,

Vieni qui, seduto tranquillo. Torniamo a quando i numeri non c’erano e qualcuno, chissà se più intelligente, o più furbo, o soltanto più faticone degli altri, ha inventato un modo per rappresentare le quantità. Vedo che il tuo sguardo si fa curioso… guarda però, se vuoi chiedermi quali sono stati i primi simboli usati e chi li ha inventati, dovrò risponderti che… non lo so! Ma tu sei uno studente del 21esimo secolo, hai internet, sai cosa sono i motori di ricerca: se sei un po’ curioso in pochi minuti potresti essere in grado di fare tu un post sui modi di rappresentare i numeri. Se lo fai, fammelo avere, così lo facciamo leggere a tutti.

Insomma, un po’ qua, un po’ là nel mondo sono nate delle cifre e dei modi per rappresentare i numeri, cioè le quantità . Tra tutti alla fine, ha vinto il modo che è risultato più pratico. Semplicemente. Quello che hai imparato tu. Scommetto che ti sembra di averlo saputo da sempre che 1 indica una quantità uguale ai nasi di una persona, 2 una quantità uguale agli occhi di una persona, 3 una quantità uguale ai re che sono andati a visitare Gesù, 4 una quantità uguale alle ruote di un auto e così via. Ma se andiamo oltre il 9 dobbiamo parlare di sistema decimale posizionale e adesso non è il caso, anche perché dovrei raccontarti la storia dello zero che è un tipetto non da poco.

Andiamo avanti. Anzi, indietro. Ti ricordi quando da piccolo hai imparato a contare? Uno, due… dieci, undici, dodici, tredici… e che bello quando hai capito che dopo era facile; ventuno, ventidue, ventitre… trentuno, trentadue, trentatre… E ti ricordi quando hai chiesto al tuo babbo o alla tua mamma o a qualche nonno o zio, qual è il numero più grande? Pensaci bene perché sono quasi sicura che questa domanda l’hai fatta. Io ero in macchina con i miei genitori, tornavamo da una passeggiata domenicale: mi ricordo che alla risposta di mio padre che non c’era mi intestardivo: Ma come non c’è? Ma uno più grande di tutti ci sarà… magari grande grande grande, che non so neanche dire, magari quello che rappresenta i granelli di sabbia nel mondo intero, magari una quantità che non riesco a numerare tutta perché il tempo della vita non basterebbe… ma prima o poi, se ci si mette anche tante vite, alla fine anche i granelli di sabbia finiscono e magari il numero che rappresenta quella quantità lì è il numero più grande… Il mio babbo non aveva finito neanche le elementari, e faceva l’ortolano ma questa cosa qui la sapeva: No, mi rispondeva mentre guidava, non c’è il numero più grande di tutti. Perché se ci aggiungi uno ne trovi sempre uno più grande.

Guardate un po’ che salto: da dei simboli stabiliti così, per convenzione, per indicare le quantità che ci troviamo intorno nella vita reale, si è creato un insieme che ha una quantità tale di elementi che non incontrerei mai nella vita reale. Infiniti elementi… e l’infinito da sempre una vertigine, come se si fosse affacciati su uno strapiombo che non ha fine.

Ecco, ancora una volta so quello che pensi: a me non da nessuna vertigine, non lo guardo lo strapiombo, che me ne frega… Dai seguimi altri due minuti soltanto: guardiamo un po’ insieme dentro questo strapiombo.

Ecco, vedi: ci sono i numeri pari e quelli dispari e insieme costituiscono i numeri naturali. No, no… non sono banalità. Rispondimi:

Quanti sono i numeri naturali?

Infiniti,me l’ha appena detto, mica sono cretino. E poi già lo sapevo.

Bene. E i numeri pari?

Infiniti, non mi frega mica profe.

Ok, sono infiniti. E come la mettiamo allora? Sono tanti quanti i numeri naturali?

Ma profe…allora pensa che sia stupido… sono infiniti ma sono meno dei naturali perché ci sono anche i dispari.

Ecco e qui ti sbagli. Ti ho fregato, come dici tu. 🙂

Profe… lo dice lei: a me non torna. Io continuo a pensarla come ho detto io. Non mi convincerà.

Infatti, io non ti voglio convincere delle mie idee. Voglio mostrarti che ho ragione io.

Però adesso vedo che sei stanco… sarà per la prossima volta. Magari qualcuno che passa di qui potrebbe farlo al mio posto. Magari tu stesso, se ci pensi un po’ .

A proposito di numeri…

E’ di questi giorni la notizia che un gruppo di matematici californiani ha scoperto un numero primo con 13 milioni di cifre. Si tratta del 46-esimo numero primo di Mersenne, cioè un numero primo della forma 2ª-1, dove a è un numero naturale. Questo secondo la notizia riportata dai giornali. In realtà leggendo sul sito del GIMPS mi sembra di capire che il 45esimo numero primo di Marsenne è stato trovato ad Agosto ed ha 13 milioni di cifre (più o meno) mentre il 46esimo è stato trovato il 6 settembre ed ha un numero minore di cifre. Correggetemi, voi che sapete l’inglese. Notizia da verificare, naturalmente.

Potreste pensare che dimostrare che un numero è primo sia facile. Si… facile a dirsi: è sufficiente prendere tutti i numeri naturali più piccoli di quel numero e provare a fare la divisione e vedere se il resto viene zero. Provate a farlo con un numero con 13 milioni di cifre. Anzi non provateci propri, nemmeno con un numero molto più piccolo. Anche utilizzando un computer, anche utilizzandone molti non è facile: sono stati necessari molti computer e molti anni.

Se state pensando: ‘Ma non hanno altro di meglio da fare?’ vi comunico che siete in buona compagnia: leggete questo post. Leggete però anche quello che penso io: questo è il commento che ho lasciato al post ma non so se lo potrete leggere adesso su quel blog perché i commenti sono moderati dall’autore. Ve lo riporto qui perché possiate dirmi cosa ne pensate voi.

Come mai si dichiara con tanta facilità di essere ignoranti in matematica e poi ci si permette di fare dichiarazioni in materia?

Io sono una ignorante professoressa di matematica che insegna tre strafalcioni ma so che questa scoperta è assai importante per esempio per la crittografia, insomma per la tua sicurezza nel comunicare tramite internet dati che vuoi mantenere segreti.

In generale, devi sapere che se non ci fossero stati i matematici, persone che hanno tempo da occupare per scoperte apparentemente inutili la tua vita sarebbe molto, molto peggiore di quella che hai adesso. Per cose pratiche che non ti immagini nemmeno abbiano a che fare con le scoperte della matematica.

Per chi si è lasciato incuriosire dalla storia dei numeri primi può provare a leggereL’enigma dei numeri primi (The Music of the Primes) è un saggio scritto da Marcus du Sautoy pubblicato per la prima volta nel 2003.

Non capirà tutto ma almeno capirà che non capisce. E forse intuirà la bellezza della matematica.

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A che serve la matematica?

Caro studente svogliato, che sai già tutto quello che c’è da sapere, che sai ormai come va il mondo, davvero vuoi sapere a che serve la matematica? La tua domanda non è già una condanna senza appello? O un modo per chiedere altro. Forse vorresti sapere a che serve quella mattinata di scuola, le parole dei professori, la vita tutta… ma questa è una faccenda un po’ complicata.

Voglio provare a risponderti, però: cominciamo dalla matematica. Si comincia sempre da una parte. Supponiamo che non serva a niente, cancelliamola dalla faccia della terra. E con essa tutti i due e i tre che si porta dietro. Immaginiamo la nostra vita come se a nessun uomo fossero mai venuti in mente i numeri. Ma guarda che dobbiamo andare molto indietro, 30.000 anni or sono: nel 2000 a. C. si possono trovare già cose simili ad un libro di matematica (la tavoletta Plimpton 322).

Davvero pensi che i numeri siano facili, ovvi, scontati? Lo sai che ci sono tribù che ancora oggi non conoscono i numeri e non sanno ragionare diversamente dai bambini piccoli per cui esiste solo uno, due e molti? Potrebbe obiettare qualche appassionato di scienze naturali che anche gli animali conoscono i numeri: in realtà, essi distinguono piccole quantità. Esattamente come te: se vedi raggruppati quattro palloncini sai al volo che sono quattro, non devi contarli. Se, però, sono di più devi contarli, magari raggruppandoli in gruppi più piccoli. Non ci credi? Provaci e vedrai. C’è voluto molto tempo e molto studio perché alcuni concetti sembrino così ‘naturali’ anche a coloro che si ritengono avversi alla matematica.

Insomma torniamo a questo mondo senza numeri, in cui ciascuno di noi sa solo la matematica dei topolini. Che c’è di strano? Ah, niente. A parte che il dottore per dirti che devi tornare da lui dopo sette giorni dovrebbe metterti sul palmo della mano sette sassolini e dirti di buttarne via uno ogni volta che viene la luce dopo il buio e di tornare da lui quando sono finiti. A parte che tua madre per dirti di comprare cinque litri di latte dovrebbe farti un bel disegnino con cinque cartoni di latte. E se, nel frattempo hanno cambiato la confezione in comode bottiglie, tu torneresti a casa senza niente. A parte che il custode delle capre, per sapere se sono tornate tutte nella stalla dovrebbe dar loro un nome e fare l’appello. O segnare tante tacche su un bastone, una per ogni capra e alla sera vedere se ci sono tante capre quante tacche. A parte che sarebbe impossibile assegnare gli esercizi di matematica per casa… ma questo non sarebbe un grosso problema, concordo con voi.

Lo vedo, ti ho convinto dell’utilità dei Numeri Naturali.

Ma questo non è niente. La prossima volta proverò a mostrarti la loro bellezza.

Achille e la tartaruga

    

“Achille deve fare una gara di velocità con una tartaruga, ma, poichè è nettamente più veloce, decide di darle un po’ di vantaggio. La gara inizia e Achille impiegherà un po’ di tempo per raggiungere il punto da dove è partita la tartaruga, che nel frattempo avrà percorso un tratto di strada; Achille raggiungerà allora il punto dove è arrivata la tartaruga, ma essa avrà di nuovo fatto un altro tratto di strada. Quindi, dato che questo ragionamento si può ripetere all’infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga…

Per chi ha qualche curiosità sull’argomento segnalo il sito http://progettomatematica.dm.unibo.it/Achille/akille.htm

dove troverà il paradosso di Achille e la tartaruga e molto, molto di più, spaziando sul concetto di infinito nella storia della matematica.

 

“Regoluzze” di Paolo Dagomari

Paolo Dagomari suggerisce procedimenti pratici per ottenere, in modo semplice e rapido, la risoluzione di tanti piccoli quesiti legati alla contabilità della vita mercantile dei suoi tempi. Riconoscete le tre regole  elencate?

  • Se vuoi rilevare molte figure, a ongni tre farai un punto cominciando dalla parte ritta inverso la mancha; e poi dirai tante volte migliaia quanti sono li punti dinanzi.
  • Se vuoi multiplicare numeri c’abbiano zeri, moltiplica le loro figure e ponvi tutti quegli zeri dinanzi.
  • Se vuoli fare raccolte di svariati numeri, scrivi li numeri l’uno sotto l’altro sicchè le figure venghino pari dalla mano diritta

Tratto da  Regoluzze di Paolo dell’Abbaco” . A cura e con introduzione di G. Arrighi – Azienda autonoma del turismo di Prato 1966

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