I numeri naturali: questi mostri sconosciuti

Provate a svolgere i seguenti test online e scrivete qui sotto il vostro primo risultato e quello a cui  siete arrivati riprovando, le domande e le osservazioni:

Test sui numeri naturali: operazioni e proprietà. (da http://www.matematicamente.it)

Test sulle operazioni con i  numeri naturali (da http://www.itg-rondani.it)

Sospensione di giudizio a.s. 2009/2010

Come preparazione ecco i testi delle prove della sospensione giudizio svolte nel settembre 2009:

Classe prima

Classe seconda

Classe terza

Classe quarta

Qui, inoltre, trovate le prove dell’anno precedente.

Indicazioni per lo studio individuale

Inserisco le indicazioni per il lavoro estivo per gli studenti con carenze, piccole o grandi, e  per i volenterosi che vogliono tenersi in esercizio e /o ripassare :

1D Igea,  1G Igea,   2D Igea.

Sì, lo so che ve le ho già distribuite in classe, ma almeno non ci sono scuse per coloro che perdono facilmente le cose soprattutto le schede distribuite dalla profe di matematica!

Buon lavoro a voi tutti e buone vacanze, profepa

Appunti sulla circonferenza

Definizione: una circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto dato detto centro.

Dato il centro e il raggio scrivere l’equazione cartesiana della circonferenza

Partendo dalla definizione della circonferenza come luogo geometrico, si può dire che l’equazione cartesiana di una circonferenza con centro in (α, β) e raggio r è

(x-α)2+(y-β)2=r2

Svolgendo i calcoli indicati si arriva all’equazione

x2+y2-2αx-2βy+ α2+ β2-r2=0

Se poniamo-2α=a, -2β=b, α2+ β2-r2=c, possiamo scrivere l’equazione della circonferenza nella forma            x2+y2+ax+by+c=0.

Data l’equazione di una circonferenza, determinare centro e raggio.

Un’equazione che può essere riportata alla forma         x2+y2+ax+by+c=0     è l’equazione di una circonferenza se e solo se α2+ β2-c≥0, dove  α= -a/2, β= -b/2: C(α,β) è il centro della circonferenza e r2= α2+ β2-c, cioè r= √α2+ β2-c

Esercizi

1)     Dato il centro e il raggio scrivere l’equazione della circonferenza

2)     Data un’equazione del tipo x2+y2+ax+by+c=0, dire se si tratta di un’equazione di una circonferenza e, in caso affermativo, trovare centro e raggio e tracciarne il grafico.

3)     Scrivere l’equazione della circonferenza dati gli estremi di un suo diametro. (Si determina il centro e il raggio e poi ci si ritrova nella situazione dell’es.2)

4)     Scrivere l’equazione della circonferenza di cui conosciamo il Centro e un punto  sulla circonferenza stessa (si può determinare il raggio, il centro è dato: ci si ritrova ancora all’es,2)

5)     Determinare l’equazione della circonferenza dati tre punti che appartengono alla circonferenza stessa. (Si impone il passaggio per ciascun punto sostituendo le sue coordinate alle incognite x,y nell’equazione generica x2+y2+ax+by+c=0. Si ottiene un sistema di tre equazioni in tre incognite (a,b,c). Si risolve col metodo che è più opportuno e si sostituiscono i valori trovati nell’equazione generica)

Equazioni di secondo grado (post a richiesta)

Un’equazione di secondo grado ad una incognita è un’equazione che può essere riportata alla forma   normale ax2+bx+c=0          con a ≠ 0  (altrimenti sarebbe un’equazione di primo grado)

Le equazioni di II grado si possono suddividere in

a) equazioni complete             b)equazioni spurie                c) equazioni pure

a) Un’equazione di II grado si dice completa quando, in forma normale, tutti i coefficienti a,b,c sono diversi da zero (a è sempre diverso da zero). (Es 2x2-3x+1=0)

L’equazione si risolve applicando la formula risolutiva

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

da ricordare a memoria e imparare ad applicare.

La quantità b2-4ac si indica con la lettera greca Δ (delta), chiamata discriminante, in quanto discrimina tre casi distinti

Δ >0 si hanno due soluzioni reali e distinte

Δ =0 si hanno due soluzioni reali e coincidenti

Δ <0 non si ha nessuna soluzione reale

Quando b è un numero pari può essere utile, per semplificare i calcoli, applicare la formula risolutiva ridotta:

b) Un’equazione si dice spuria quando, in forma normale, c=0 cioè: ax2+bx=0.

(Es: 3x2-2x=0)

Per risolverla, si mette in evidenza la x, quindi x·(ax+b)=0.

Per la legge di annullamento del prodotto almeno uno dei due fattori deve annullarsi.

x=0            oppure         ax+b=0

Si ricavano, quindi, le soluzioni x1=0 e x2=-b/a

 

c) Un’equazione si dice pura quando, in forma normale, b=0 cioè: ax2+c=0. (Es. 3x2-2=0)

Per risolverla: ax2 = -c da cui x2=-c/a e qui9ndi x=±√-c/a. (√-c/a indica la radice quadrata di –c/a) .

Attenzione: -c/a non è detto che sia negativo: vuol dire l’opposto di c/a, quindi dipende dai segni di a e c.

Se -c/a>0 le soluzioni sono reali e opposte. Se -c/a<0 le soluzioni non sono reali. Se -c/a =0 le soluzioni sono coincidenti ed entrambe uguali a 0.

 

Qui un test per verificare le conoscenze e qui uno per verificare se sapete applicarle

Risolvete alcune equazioni per ciascun tipo.


Indicazioni per il lavoro estivo.

Ci sono diversi studenti cui ho raccomandato, al di là del risultato finale dello scrutinio, di tenersi in allenamento. Naturalmente rimane un’ipotesi … però, forse, chissà, potrà esserci almeno uno che, magari a settembre, prova a riguardarsi qualcosa… se proprio non ha altro da fare!

Idealista come sempre, inserisco le indicazioni per lo studio individuale per la

classe prima

classe seconda

classe terza

classe quarta

Inoltre è possibile eseguire test on line ed esercizi guidati utilizzando i contributi del link materiali didattici .

Sospensione di giudizio a.s. 2008/09

Per gli studenti che sono stati sospesi nel giudizio in matematica (o che hanno avuto un “aiutino”)  inserisco i programmi svolti: 1D ; 2D ; 3A IGEA ; 4A IGEA ; 4A PM; 3A PM .

A questo punto non vi rimane altro che controllare il calendario dei corsi che, presumibilmente, si svolgeranno, mattina e pomeriggio, da lunedì 29 giugno a sabato 18 luglio (al max).

Vi ricordo che potete contattarmi quando volete!

Un saluto, profepa

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