Percentuali: scusate la banalità

La percentuale può essere trattata semplicemente come una frazione con denominatore 100: gli appunti sulle percentuali potrebbero finire qui. Magari dopo aver fatto un rapido accenno a come è più facile confrontare variazioni, rapporti etc etc utilizzando frazioni che abbiano tutte lo stesso denominatore: per l’appunto 100.
Ma facciamo qualche esempio:
Se il 30% degli alunni di una classe sono maschi, il 70% (la frazione complementare) sono femmine.
Un prezzo può aumentare del 120% (frazione impropria) ma non può partecipare ad una gita il 120% degli studenti di una classe.
Il 30% di una classe non è detto che sia uguale al 30% di un’altra: è essenziale sapere su chi operano le frazioni (e quindi le percentuali)
Per trovare il 30% del 40% di una certa grandezza devo fare la stessa cosa di quando voglio trovare un terzo di tre quinti.
E così via.

Ora il problema è: sapete operare con le frazioni? Svolgete i seguenti problemi, prima quello con le frazioni  poi quello corrispondente con le percentuali.

1) Un fabbrica ha prodotto 360 pezzi di cui 30 difettosi. Quale frazione rappresentano i pezzi difettosi?

Un fabbrica ha prodotto 360 pezzi di cui 30 difettosi. Qual è la percentuale dei pezzi difettosi prodotti?

2)Determinare i 3/5 di 250.

Determinare il 30% di 2000.

3) Se 2/3 della torta pesa 600g, quanto pesa la torta?

Se il 20% dello zucchero è 60 g, quanto pesa tutto lo zucchero?

4) Se ho mangiato i 4/5 di una torta e il pezzo che resta pesa 30 g, quanto pesava la torta intera?

Se mi hanno fatto uno sconto del 20% e ho pagato l’oggetto 60 euro. quanto costava prima dello sconto?

5) Ho preso i 4/5 di un chilo di farina e ne ho dati i 3/4 della quantità che possedevo ad Andrea: quanta farina mi resta? Che frazione è del pacco intero?

Il 30% di un gruppo di 300 studenti studia inglese. Il 20% degli studenti che studiano inglese partecipa ad un viaggio studio a Londra: quanti studenti partono per Londra? Che percentuale sono dell’intero gruppo?


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Esercizi guidati di matematica finanziaria

In vista del compito sulle rendite, e soprattutto del test riassuntivo che ancora non abbiamo fissato, ho trovato questi esercizi svolti che potrebbero esservi utili:

montante di una rendita posticipata

montante di una rendita anticipata

valore attuale di una rendita posticipata

valore attuale di una rendita anticipata

valore attuale di una rendita differita

costituzione di un capitale

Qui , inoltre, troverete una spiegazione riguardante il valore attuale di una rendita ad un tempo qualsiasi e qui una  sulla ricerca della rata o del numero di rate.

Questioni di metodo

Gli studenti vengono a scuola per imparare (devo scrivere sul serio?) Gli insegnanti vengono a scuola per insegnare (profe… che sta dicendo?) Dunque abbiamo uno scopo comune: niente più studenti che vengono a scuola per prendere in giro i professori o professori che dovrebbero, secondo voi, venire a scuola per sfogare un malcontento dovuto a esperienze familiari o, chissà, al governo, su dei poveri fanciulli sconosciuti e imbelli. (che vuol dire profe?) Se voi fate quello che vi dico, se seguite le mie indicazioni, se state attenti in classe, se volete davvero imparare e fate tutto ciò che a voi spetta, il vostro profitto a matematica deve essere almeno 6. Se non lo fosse, non sarebbe solo un problema vostro ma nostro. Se io preparo un compito che a me sembra facile per voi e voi non lo fate bene, c’è un problema. Quale problema? Non lo so, ma c’è qualcosa che non va: nel vostro stare in classe, nel mio non capire che non avete capito, nel vostro fare i compiti, nel mio pretendere troppo da voi, nel vostro studiare, nel mio non spiegare, nel vostro pensare alla matematica… che ne so. Quello che so è che un problema c’è. E bisogna eliminarlo.

Proviamo a dare alcune notazioni di metodo.

In classe

In classe la questione più importante è che tu mantenga il contatto con me. Un contatto visivo, intellettivo, affettivo. Dobbiamo guardare tutti alla stessa cosa, dobbiamo mettere lì la nostra curiosità, il nostro interesse, il nostro impegno. e se uno interviene è lui che ascoltiamo.

Tutto ciò che contribuisce a rafforzare questo contatto è “buono”. Tutto ciò che ostacola questo contatto è “cattivo”. parlare con un compagno è cattivo, scrivere sul diario è cattivo, guardarsi allo specchietto è cattivo, annotare sul quaderno le foglie del noce cadute è cattivo, fermarsi al bar invece di rientrare in classe è cattivo. Invece è buono fare domande, ascoltare quello che si dice, prendere appunti, fare osservazioni, dire una battuta intelligente che c’entra con quello che si sta facendo. Prendere appunti è un grosso aiuto che ci diamo per aiutare noi stessi a non distrarsi e per cominciare a fissare nella mente nuove parole, regole, definizioni. Prendendo appunti cominci già a studiare e ti fai un promemoria di quello che la professoressa ritiene importante che tu sappia. Come si impara a prendere appunti? Prendendoli. Semplicemente. Basta aver presente  il duplice scopo appena detto.

Compiti a casa

I compiti a casa non sono, prima di tutto, gli esercizi assegnati: il primo lavoro da fare a casa è riprendere gli appunti, studiarli, riscrivere definizioni e regole, formule e teoremi finché non si è capito, finché non si sanno riscrivere su un foglio bianco. Il libro vi aiuta nei punti poco chiari dei vostri appunti , ma gli appunti sono insostituibili. Fatevi un quaderno degli appunti: un quaderno in cui trascrive gli appunti, quelli importanti, regole, definizioni, termini specifici, proprietà, formule: tutto quello che vi interessa ricordare. Potete usare un mini quaderno o una rubrica o quello che più vi pare, ma dev’essere un lavoro vostro di rielaborazione.

Gli esercizi per casa devono essere scritti a penna (profe…non posso farlo… e se sbaglio?), pensando bene prima di scrivere, senza saltare passaggi, senza fare passaggi di troppo, senza ricorreggere quello che avete appena scritto: abituatevi, invece, a preoccuparvi di una cosa alla volta tenedno sempre presente il contesto in cui lavorate.

Il quaderno non è un libro stampato. Sul quaderno si deve lavorare, sbagliare, correggere, evidenziare: puoi mettere punti interrogativi, punti esclamativi, asterischi, usare penne colorate per evidenziare gli errori o i punti in cui non capisci cosa fare.

metti la data prima di metterti a fare i compiti e prima di prendere appunti: ti servirà per ritrovare quello che ti serve, per segnare le tappe del tuo lavoro.

I compiti in classe

Il compito in classe è il momento in cui si verifica se hai capito e sai orientarti nelle cose che hai imparato (o che dovresti avere imparato)

La prima cosa che il tuo insegnante vuole è che prenda un buon voto. L’ultima cosa che vuole è che tu copi il tuo compito. Quando un alunno copia un compito un professore si arrabbia perché il suo compagno di lavoro, il suo alleato, cerca di fregarlo. E si arrabbia per il tempo buttato , per le parole spese, per il suo lavoro reso inutile; ma si arrabbia soprattutto perché il suo alleato fregando lui frega soprattutto se stesso.

Non importa se il compito è lungo o corto, facile o difficile: quello che importa è che tu ti metta in gioco cercando di mostrare tutto quello che sai. o, a volte, tutto quello che non sai. Ma da qualche parte si deve pur cominciare per imparare.

Il compito si svolge a penna, subito in bella, con molta attenzione: se ci sarà tempo poi riguarderemo quello che non ci torna, quello che ci ha lasciato dei dubbi: eventualmente correggeremo cancellando con un frego e continuando da un’altra parte con un asterisco. quando ci riportano il compito cercherò di capire ogni segno rosso, ogni segnale di errore e riporterò sul quaderno errore e correzione: quell’errore non devo farlo più.

Divisore, dividendo, divisibile, multiplo: facciamo chiarezza in questo mondo confuso?

Un numero naturale a si dice multiplo di un numero naturale b se a=n*b, dove n è un numero naturale. Si può dire anche che a è divisibile per b, cioè che la divisione di a con b ha un quoziente intero con resto 0. Si dice anche che b è un divisore di a.

NOTA BENE: a e b non sono interscambiabili perché la divisione non gode della proprietà commutativa: se a è divisibile per b, b è divisore di a. Divisibile e divisore non sono sinonimi.

Esempio: 30 è multiplo di 5; 30 è divisibile per 5; 5 è un divisore di 30.

Provate a fare questo test online scrivendo nei commenti il vostro punteggio e le eventuali domande o osservazioni

Ci sono dei criteri per stabilire se un numero è divisibile per un altro: ne avevamo parlato ed alcuni non me li ricordavo. Li ho trovati su internet. Alcuni sono facili da capire, altri un po’ meno: li sappiamo dimostrare?

CRITERI DI DIVISIBILITA’

Un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari.
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3.

Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4

Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5

Un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3

Un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7. » per es. 95676 è divisibile per 7 se lo è il numero 9567-2*6=9555; questo è divisibile per 7 se lo è il numero 955-2*5=945; questo è divisibile per 7 se lo è 94-2*5=84 che è divisibile per 7 dunque lo è anche il numero 95676.
Un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se è divisibile per 8 il numero formato dalle sue ultime 3 cifre
Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9

Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0

Un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11 » per es. 625834 è divisibile per 11 in quanto (2+8+4)-(6+5+3)=14-14=0

Un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4

Un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13 » per es. 7306 è divisibile per 13 se lo è il numero 730+4*6=754; questo è divisibile per 13 in quanto 75+4*4=91 è multiplo di 13 (13*7=91)

Un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17 » per es. 2584 è divisibile per 17 se lo è il numero 258-5*4=238; questo è divisibile per 17 se lo è il numero 23-5*8=17

Un numero è divisibile per 25 se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25, cioè 00, 25, 50, 75

Un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00

Provate a svolgere i seguenti test online e scrivete qui sotto il vostro primo risultato e quello a cui  siete arrivati riprovando:

Test sui numeri naturali: operazioni e proprietà. (da http://www.matematicamente.it)

Test sulle operazioni con i  numeri naturali (da http://www.itg-rondani.it)

Appunti di geometria analitica

Per le ragazze di terza liceo: spero vi siano utili. Scusate la forma e non dimenticate il libro pag 446-448 volC. Prendere appunti vi dovrebbe aiutare soprattutto a capire cosa vi chiederò alle interrogazioni, quali sono le cose che ritengo indispensabili. Buon lavoro!

Appunti di geometria analitica

PS i problemi che facciamo non sono altro che semplici applicazioni di queste quattro righe.

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