piegando o parlando di piegare

Non ho avuto molto tempo di costruire origami negli ultimi tempi. Ma stiamo incominciando a parlare di origami modulari, solidi con facce regolari, solidi platonici. Mi sa che quest’anno faremo un bel laboratorio: modulo di Sonobe, modulo di Bascetta e via dicendo. Potremo dimostrare perché i solidi platonici sono solo cinque. O, senza esagerare, potremo darne una spiegazione intuitiva. Potremo costruire il pallone di calcio.  O parlare di opere d’arte  e vedere come si intrecciano Pacioli, Michelangelo, Leonardo, Venezia con i solidi che faremo venir fuori da dei foglietti di carta. Mi piace.

Metto qui un link per _Michelangelo; uno per  i solidi nella storia dell’arte.  Per non scordarmene.

Lo zero

Stamani la collega di scienze umane mi ha detto che aveva accennato in una nostra classe allo zero e a Fibonacci e mi chiedeva, se mi capitava di parlarne in classe. Felice di poter parlare di queste cose, felice ancora di più di avere colleghe che me le chiedono, ho girellato  su web per rinfrescarmi un po’ le idee. Perché dello zero si sa che è una cifra un po’ stramba anche solo per come si comporta nelle operazioni: assorbente nella moltiplicazione;  e poi vuol fare la diversa nella divisione: l’unica operazione che si dice non si può fare è la divisione per zero. Ma a parte questo, è una cifra strana proprio dall’origine: se ci pensate bene i numeri servivano per contare quantità: gli uomini della legione, i nemici morti, le pecore del mio gregge:  a nessuno mai poteva venire in mente di creare un simbolo per il niente, per il vuoto, per il nulla. ma nelle popolazioni che usavano un sistema di scrittura posizionale (dove cioè le cifre avevano un diverso significato a seconda della posizione) diventava importante segnare le posizioni vuote per non confondere 203 con 2 e 3  o con 23. Allora si è cominciato a segnare in qualche modo la posizione vuota.

I Babilonesi (vissuti tra il 23° e il 6° sec. aC) usavano un sistema di numerazione posizionale a base 60 (fino a 60 usavano una sorta di sistema additivi, tipo quello della numeri romani per intenderci) . Quando una posizione era vuota lasciavano uno spazio ma questo causava errori e allora hanno cominciato ad usare un simbolo per indicare la posizione vuota:  due cunei obliqui:

Questo simbolo non era considerato un numero cioè un simbolo per rappresentare la quantità nulla.

Per i curiosi ecco le cifre dei Babilonesi

La civiltà dei maya ha raggiunto il suo massimo splendore tra il 250 e il 925 d.C. e, pur non avendo avuto nessun contatto con la civiltà babilonese, si è posta il problema dello zero ma per motivi molto diversi. la numerazione dei Maya era molto complicata e si basava sull’anno solare: aveva più basi che si chiamavano in modi diversi. Gli dei erano raffigurati mentre portavano i numeri: così, per motivi religiosi, poiché non gli sembrava carino che qualcuno tra loro non portasse niente crearono un oggetto, una conchiglia vuota, da far loro portare quando non c’erano numeri.

La prima descrizione formale dello zero come numero è stata proposta da Brahmagupta, un geniale astronomo e matematico nato nel 598 d.C. in India. Scrisse un trattato in cui introduce i numeri negativi e  il numero zero descrivendone alcune proprietà nelle operazioni. Questo trattato fu tradotto in arabo e divenne il testo di riferimento per i matematici arabi per molti secoli.  Uno tra i più importanti matematici arabi fu Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi (780-850), che scrisse tra gli altri, un trattato “Sul calcolo coi numeri indiani” (825),  che dette  un importante contributo alla diffusione del sistema di numerazione decimale e dello zero come numero. Al-Khwarizmi gettò anche le basi dell’algebra nel suo libro “Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala”

Dato che, come si è visto, gli arabi hanno avuto il merito di diffondere il sistema indiano su larga scala, comunemente si attribuisce loro la scoperta del sistema posizionale e delle cifre, compreso lo zero, in realtà scoperte dagli indiani. Proprio
perchè gli arabi hanno diffuso il sistema, alla loro lingua è legata l’etimologia di alcune parole. Ad esempio, la parola cifra, in seguito ad un allargamento semantico, deriva dall’arabo zifer (zero), così come anche la parola zero proviene dallo stesso termine arabo zifer. Algebra deriva invece dall’arabo Al-jabr (calcolo).

Il primo a portare a conoscenza del mondo occidentale il sistema posizionale indiano completo, il numero zero e le tecniche di calcolo fu il matematico Leonardo Fibonacci (1170 – 1250), pisano, che basandosi sul Sind Hind e sugli scritti dei matematici arabi scrisse il Liber Abaci (1202). In questo libro non solo viene presentato il sistema di numerazione indiano, ma anche la sua efficienza nel calcolo. Ecco come Fibonacci presenta le cifre indiane all’inizio del Liber Abaci.

Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstratur.
(Leonardo Fibonacci – Liber Abaci – Capitulum I)
 
Fibonacci non si limita a parlare dell’astratto, ma nel Liber Abaci descrive anche diversi campi di applicazione del nuovo sistema, come la contabilità per il commercio, la conversione delle unità di misura, il calcolo degli interessi ed altre pplicazioni finanziarie. Tuttavia il sistema indiano rimane utilizzato solo dai matematici fino al XV secolo, per poi diffondersi tra la popolazione tramite la stampa. Pensate che nel 1299 a Firenze il Consiglio cittadino emanò un’ordinanza che dichiarava illegale l’uso dei numeri nei libri contabili: le somme andavano indicate in parole, perché lo zero poteva essere facilmente mutato in 6 o 9.

Chiedo scusa per questi appunti scritti un po’ in fretta e furia e in maniera approssimata e con diversi copia-incolla, ma mi faceva piacere fissare qualche idea per me e per i miei studenti. Rimando ad alcune fonti, sia per una trattazione più dettagliata e precisa delle cose alle quali io ho accennato sia per affrontare altri aspetti dell’argomento (filosofia, arte, religione):

– una tesina per un corso di laurea in informatica

– la trama del libro Zero Storia di una cifra di Robert Kaplan scritta da Amolamatematica.

– una tesina per l’esame di stato pubblicata su matematicamente.it

Buon lavoro!

E se trovate altre cose interessanti, scrivetele.

Buon lavoro!

Flatlandia

Segnalo questo spazio dove ogni mese viene proposto un quesito per i ragazzi delle scuole medie e del biennio delle superiori. Vengono nominati tutti i contributi e tutti vengono riportati e commentati. Magari qualche nostro alunno potrebbe partecipare.

Divisore, dividendo, divisibile, multiplo: facciamo chiarezza in questo mondo confuso?

Un numero naturale a si dice multiplo di un numero naturale b se a=n*b, dove n è un numero naturale. Si può dire anche che a è divisibile per b, cioè che la divisione di a con b ha un quoziente intero con resto 0. Si dice anche che b è un divisore di a.

NOTA BENE: a e b non sono interscambiabili perché la divisione non gode della proprietà commutativa: se a è divisibile per b, b è divisore di a. Divisibile e divisore non sono sinonimi.

Esempio: 30 è multiplo di 5; 30 è divisibile per 5; 5 è un divisore di 30.

Provate a fare questo test online scrivendo nei commenti il vostro punteggio e le eventuali domande o osservazioni

Ci sono dei criteri per stabilire se un numero è divisibile per un altro: ne avevamo parlato ed alcuni non me li ricordavo. Li ho trovati su internet. Alcuni sono facili da capire, altri un po’ meno: li sappiamo dimostrare?

CRITERI DI DIVISIBILITA’

Un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari.
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3.

Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4

Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5

Un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3

Un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7. » per es. 95676 è divisibile per 7 se lo è il numero 9567-2*6=9555; questo è divisibile per 7 se lo è il numero 955-2*5=945; questo è divisibile per 7 se lo è 94-2*5=84 che è divisibile per 7 dunque lo è anche il numero 95676.
Un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se è divisibile per 8 il numero formato dalle sue ultime 3 cifre
Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9

Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0

Un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11 » per es. 625834 è divisibile per 11 in quanto (2+8+4)-(6+5+3)=14-14=0

Un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4

Un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13 » per es. 7306 è divisibile per 13 se lo è il numero 730+4*6=754; questo è divisibile per 13 in quanto 75+4*4=91 è multiplo di 13 (13*7=91)

Un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17 » per es. 2584 è divisibile per 17 se lo è il numero 258-5*4=238; questo è divisibile per 17 se lo è il numero 23-5*8=17

Un numero è divisibile per 25 se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25, cioè 00, 25, 50, 75

Un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00

Provate a svolgere i seguenti test online e scrivete qui sotto il vostro primo risultato e quello a cui  siete arrivati riprovando:

Test sui numeri naturali: operazioni e proprietà. (da http://www.matematicamente.it)

Test sulle operazioni con i  numeri naturali (da http://www.itg-rondani.it)

Nastro di Mobius

Stamani in una classe abbiamo preso carta e forbici e abbiamo scoperto che la matematica è anche questo. Guardate il video: fa vedere altri esperimenti con il nastro di Mobius. Provate a rifarli anche voi.

Se siete curiosi andate a vedere qui.

 

 

Metodo di bisezione

Il professor D.P. mi ha mandato la risoluzione dell’esercizio che ha dato da svolgere alla classe quarta. Ve lo riporto qui di seguito:

Risolvere graficamente l’equazione ln x+x2−4 = 0, individuando
un intervallo contenente la soluzione e determinando un’approssimazione
della soluzione con l’utilizzo di almeno due iterazioni del metodo di bisezione.

soluzione

E domani si ricomincia con i limiti

Ho trovato questa pagina sui limiti che potrebbe essere utile a chi sta iniziando lo studio dei limiti delle funzioni reali ad una variabile reale o a chi deve effettuare un recupero di tale argomento.

http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Limiti/Indice_limiti.htm

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