Radicali: intanto cominciate a pensare…

Mentre profepa sta spiegando in seconda la proprietà invariantiva, la semplificazione, la riduzione di più radicali allo stesso indice, due  studenti giocherellano con le loro calcolatrici.  I ragazzi scrivono lo stesso numero di 4 cifre e poi ne calcolano, rispettivamente, la radice quarta e la radice sesta. Con grande stupore, entrambi ottengono come risultato un intero. Quale numero hanno scritto all’inizio?

Esercizi guidati di matematica finanziaria

In vista del compito sulle rendite, e soprattutto del test riassuntivo che ancora non abbiamo fissato, ho trovato questi esercizi svolti che potrebbero esservi utili:

montante di una rendita posticipata

montante di una rendita anticipata

valore attuale di una rendita posticipata

valore attuale di una rendita anticipata

valore attuale di una rendita differita

costituzione di un capitale

Qui , inoltre, troverete una spiegazione riguardante il valore attuale di una rendita ad un tempo qualsiasi e qui una  sulla ricerca della rata o del numero di rate.

Questioni di metodo

Gli studenti vengono a scuola per imparare (devo scrivere sul serio?) Gli insegnanti vengono a scuola per insegnare (profe… che sta dicendo?) Dunque abbiamo uno scopo comune: niente più studenti che vengono a scuola per prendere in giro i professori o professori che dovrebbero, secondo voi, venire a scuola per sfogare un malcontento dovuto a esperienze familiari o, chissà, al governo, su dei poveri fanciulli sconosciuti e imbelli. (che vuol dire profe?) Se voi fate quello che vi dico, se seguite le mie indicazioni, se state attenti in classe, se volete davvero imparare e fate tutto ciò che a voi spetta, il vostro profitto a matematica deve essere almeno 6. Se non lo fosse, non sarebbe solo un problema vostro ma nostro. Se io preparo un compito che a me sembra facile per voi e voi non lo fate bene, c’è un problema. Quale problema? Non lo so, ma c’è qualcosa che non va: nel vostro stare in classe, nel mio non capire che non avete capito, nel vostro fare i compiti, nel mio pretendere troppo da voi, nel vostro studiare, nel mio non spiegare, nel vostro pensare alla matematica… che ne so. Quello che so è che un problema c’è. E bisogna eliminarlo.

Proviamo a dare alcune notazioni di metodo.

In classe

In classe la questione più importante è che tu mantenga il contatto con me. Un contatto visivo, intellettivo, affettivo. Dobbiamo guardare tutti alla stessa cosa, dobbiamo mettere lì la nostra curiosità, il nostro interesse, il nostro impegno. e se uno interviene è lui che ascoltiamo.

Tutto ciò che contribuisce a rafforzare questo contatto è “buono”. Tutto ciò che ostacola questo contatto è “cattivo”. parlare con un compagno è cattivo, scrivere sul diario è cattivo, guardarsi allo specchietto è cattivo, annotare sul quaderno le foglie del noce cadute è cattivo, fermarsi al bar invece di rientrare in classe è cattivo. Invece è buono fare domande, ascoltare quello che si dice, prendere appunti, fare osservazioni, dire una battuta intelligente che c’entra con quello che si sta facendo. Prendere appunti è un grosso aiuto che ci diamo per aiutare noi stessi a non distrarsi e per cominciare a fissare nella mente nuove parole, regole, definizioni. Prendendo appunti cominci già a studiare e ti fai un promemoria di quello che la professoressa ritiene importante che tu sappia. Come si impara a prendere appunti? Prendendoli. Semplicemente. Basta aver presente  il duplice scopo appena detto.

Compiti a casa

I compiti a casa non sono, prima di tutto, gli esercizi assegnati: il primo lavoro da fare a casa è riprendere gli appunti, studiarli, riscrivere definizioni e regole, formule e teoremi finché non si è capito, finché non si sanno riscrivere su un foglio bianco. Il libro vi aiuta nei punti poco chiari dei vostri appunti , ma gli appunti sono insostituibili. Fatevi un quaderno degli appunti: un quaderno in cui trascrive gli appunti, quelli importanti, regole, definizioni, termini specifici, proprietà, formule: tutto quello che vi interessa ricordare. Potete usare un mini quaderno o una rubrica o quello che più vi pare, ma dev’essere un lavoro vostro di rielaborazione.

Gli esercizi per casa devono essere scritti a penna (profe…non posso farlo… e se sbaglio?), pensando bene prima di scrivere, senza saltare passaggi, senza fare passaggi di troppo, senza ricorreggere quello che avete appena scritto: abituatevi, invece, a preoccuparvi di una cosa alla volta tenedno sempre presente il contesto in cui lavorate.

Il quaderno non è un libro stampato. Sul quaderno si deve lavorare, sbagliare, correggere, evidenziare: puoi mettere punti interrogativi, punti esclamativi, asterischi, usare penne colorate per evidenziare gli errori o i punti in cui non capisci cosa fare.

metti la data prima di metterti a fare i compiti e prima di prendere appunti: ti servirà per ritrovare quello che ti serve, per segnare le tappe del tuo lavoro.

I compiti in classe

Il compito in classe è il momento in cui si verifica se hai capito e sai orientarti nelle cose che hai imparato (o che dovresti avere imparato)

La prima cosa che il tuo insegnante vuole è che prenda un buon voto. L’ultima cosa che vuole è che tu copi il tuo compito. Quando un alunno copia un compito un professore si arrabbia perché il suo compagno di lavoro, il suo alleato, cerca di fregarlo. E si arrabbia per il tempo buttato , per le parole spese, per il suo lavoro reso inutile; ma si arrabbia soprattutto perché il suo alleato fregando lui frega soprattutto se stesso.

Non importa se il compito è lungo o corto, facile o difficile: quello che importa è che tu ti metta in gioco cercando di mostrare tutto quello che sai. o, a volte, tutto quello che non sai. Ma da qualche parte si deve pur cominciare per imparare.

Il compito si svolge a penna, subito in bella, con molta attenzione: se ci sarà tempo poi riguarderemo quello che non ci torna, quello che ci ha lasciato dei dubbi: eventualmente correggeremo cancellando con un frego e continuando da un’altra parte con un asterisco. quando ci riportano il compito cercherò di capire ogni segno rosso, ogni segnale di errore e riporterò sul quaderno errore e correzione: quell’errore non devo farlo più.

Pane e pensiero

Tre giorni dopo stavamo avvicinandoci alle rovine di un piccolo villaggio chiamato Sippar, quando scorgemmo, steso al suolo, un povero viandante ricoperto di cenci che sembrava gravemente ferito. Era in condizioni pietose. Ci accingemmo a soccorrerlo e in seguito ci narrò la storia della sua sciagura.

Si chiamava Salem Nasair ed era uno dei più ricchi mercanti di Baghdad. Pochi giorni prima, di ritorno da Basra e diretto a el-Hilleh, la sua grande carovana era stata attaccata e rapinata da una banda di nomadi persiani e quasi tutti i suoi compagni erano stati uccisi. Egli, il padrone, era riuscito miracolosamente a salvarsi  nascon­dendosi nella sabbia tra i corpi inanimati dei suoi schiavi.

Quando ebbe terminato il racconto delle sue sventure, ci chiese con voce tremante: «Non avete per caso qual­cosa da mangiare? Sto morendo di fame».

«Ho tre pagnotte» risposi.

«Io ne ho cinque» disse l’Uomo Che Contava.

«Allora» fece lo Sceicco, «vi scongiuro di dividere le vostre pagnotte con me. Vi propongo uno scambio ragio­nevole. Vi darò per il pane Otto monete d’oro, non appena giungerò a Baghdad». E così dividemmo tra di noi le pagnotte.

Il giorno dopo, tardi nel pomeriggio, entrammo nella famosa città di Baghdad, Perla dell’Oriente.

Attraversando una piazza affollata e rumorosa, fummo bloccati dal passaggio di una sfarzosa comitiva alla cui testa cavalcava, su di un elegante sauro, il potente visir Ibrahim Maluf. Vedendo lo sceicco Salem Nasair in nostra compagnia, fece fermare il suo brillante seguito e lo inter­pellò: «Cosa ti è capitato, amico mio? Come mai arrivi qui a Baghdad così mal ridotto, in compagnia di questi due stranieri?

Il povero Sceicco gli narrò nei dettagli quanto gli era accaduto in viaggio, lodandoci ampiamente.

«Ricompensa subito questi due stranieri» ordinò il Vi­sir. Prese dalla borsa otto monete d’oro e le diede a Salem Nasair dicendo: «Ti porterò subito con me a palazzo poi­ché il Difensore dei Fedeli vorrà di sicuro essere informato di questo nuovo affronto dei banditi beduini, che osano attaccare i nostri amici e saccheggiare una carovana sul territorio del Califfo»

A questo punto Salem Nasair ci disse: «Prendo conge­do da voi, amici miei. Desidero però ringraziarvi ancora una volta per il vostro aiuto e, come avevo promesso, compensarvi per la vostra generosità». E, rivolgendosi all’Uomo Che Contava: «Ecco cinque monete d’oro per i tuoi cinque pani». Poi a me: «E tre a te, mio amico di Baghdad, per le tue tre pagnotte».

Con mia grande sorpresa l’Uomo Che Contava sollevò rispettosamente un’obbiezione. «Perdonami, Sceicco! Ma questa suddivisione, che pure sembra semplice, non è matematicamente giusta. Dal momento che ho dato cin­que pagnotte, devo ricevere sette monete. Il mio amico, che ha ceduto tre pagnotte, deve riceverne soltanto una».

«Per il nome di Maometto! » esclamò il Visir vivamente interessato. «Come può questo straniero giustificare una pretesa così assurda?»

Dal romanzo ‘L’uomo che sapeva contare’ Malba Tahan ed. Salani

E voi a chi date ragione? Ovviamente all’Uomo Che Contava, spero… ma come giustificare la sua affermazione?

Rotture e nuovi orizzonti

Gli irrazionali sono stati una bella gatta da pelare, un grande sconquasso, un terremoto in quelle che erano certezze sul mondo. Immaginatevi di essere lì a chiedervi qual è il senso del mondo, quale il legame che tiene insieme tutte le cose e me stesso che le guardo. Immaginatevi di non sapere nemmeno che qualcuno dopo migliaia di anni vi chiamerà filosofo o matematico. Immaginatevi di aver scoperto cose meravigliose della realtà, di aver guardato i numeri e di aver visto in quei puntini che si disponevano magicamente in triangoli, quadrati qualcosa di più di semplici puntini: quasi riuscissero a leggere ed interpretare tutta la realtà. Tutto è numero, tutto può essere espresso come rapporto di numeri naturali: se prendi due coppie di segmenti puoi sempre trovare un sottomultiplo comune, cioè un segmento che sia contenuto un numero intero di volte nell’uno e nell’altro. O, in altre parole, che uno sia una frazione dell’altro. O, in altre parole ancora, che i due segmenti siano commensurabili. Immaginatevi di fondare su questo tutta la vostra idea del mondo e della realtà.

Immaginatevi che sia proprio uno dei vostri, uno che ha condiviso con voi scoperte, idee, certezze che dice che tutto questo non è vero: proprio la diagonale di un quadrato di lato 1 non è commensurabile col lato. C’è chi dice che Ippaso sia affogato in un naufragio, magari per volere degli dei che lo hanno punito per la sua arroganza, c’è chi dice che qualcuno della setta lo abbia fatto affogare in qualche fontana. qualcuno narra che sia fuggito in preda alla vergogna. Sembra che i pitagorici abbiano eretto il suo monumento funebre mentre era ancora in vita.

Proclo parla così della sua scomparsa: «I pitagorici narrano che il primo divulgatore di questa teoria [dei numeri incommensurabili e quindi irrazionali] fu vittima di un naufragio; e parimenti si riferivano alla credenza secondo la quale tutto ciò che è irrazionale, completamente inesprimibile e informe, ama rimanere nascosto; e se qualche anima si rivolge ad un tale aspetto della vita, rendendolo accessibile e manifesto, viene trasportata nel mare delle origini, ed ivi flagellata dalle onde senza pace».

E i pitagorici persero, forse, un’occasione per imparare che è necessario piegarsi alla realtà e obbedire alle teorie da loro stessi create anche quando aprono a cose nuove e impreviste. ma da allora, che io sappia, nessun matematico ha fatto mai più il loro errore: ogni breccia nei muri apparentemente perfetti non ha fatto nient’altro che aprire a nuovi orizzonti.

Brioscine

Che c’è di male a mangiarsi una brioscina al bar chiacchierando in piacevole compagnia? Niente di niente. Anzi, direi che è una cosa molto piacevole. Quasi da consigliare agli amici. Perché una prof si arrabbia se uno studente mangia una brioscina al bar? Perché è nervosa, perché è cattiva e ci impedisce di godere del mondo, perché si approfitta del suo potere su di noi, sento le voci degli studenti. Forse.

Ma forse no.

Forse è perché pensa che il suo lavoro sia importante, che un’ora di lezione sia un’ora di lezione e non di intervallo; forse ha prepararto una lezione e credeva (illusa) che potesse interessare a qualcuno.

Alle mie alunne ricciolute (altrimenti si sentono escluse…)

Questo è il link al video della voce pacata e fascinosa che vi spiega la retta per un punto e parallela ad una retta data con i due modi che vi ho spiegato oggi (fascio proprio e fascio improprio: la formula è ovviamente valida solo per trovare la retta per due punti).

 

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