Appunti sulla circonferenza

Definizione: una circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto dato detto centro.

Dato il centro e il raggio scrivere l’equazione cartesiana della circonferenza

Partendo dalla definizione della circonferenza come luogo geometrico, si può dire che l’equazione cartesiana di una circonferenza con centro in (α, β) e raggio r è

(x-α)2+(y-β)2=r2

Svolgendo i calcoli indicati si arriva all’equazione

x2+y2-2αx-2βy+ α2+ β2-r2=0

Se poniamo-2α=a, -2β=b, α2+ β2-r2=c, possiamo scrivere l’equazione della circonferenza nella forma            x2+y2+ax+by+c=0.

Data l’equazione di una circonferenza, determinare centro e raggio.

Un’equazione che può essere riportata alla forma         x2+y2+ax+by+c=0     è l’equazione di una circonferenza se e solo se α2+ β2-c≥0, dove  α= -a/2, β= -b/2: C(α,β) è il centro della circonferenza e r2= α2+ β2-c, cioè r= √α2+ β2-c

Esercizi

1)     Dato il centro e il raggio scrivere l’equazione della circonferenza

2)     Data un’equazione del tipo x2+y2+ax+by+c=0, dire se si tratta di un’equazione di una circonferenza e, in caso affermativo, trovare centro e raggio e tracciarne il grafico.

3)     Scrivere l’equazione della circonferenza dati gli estremi di un suo diametro. (Si determina il centro e il raggio e poi ci si ritrova nella situazione dell’es.2)

4)     Scrivere l’equazione della circonferenza di cui conosciamo il Centro e un punto  sulla circonferenza stessa (si può determinare il raggio, il centro è dato: ci si ritrova ancora all’es,2)

5)     Determinare l’equazione della circonferenza dati tre punti che appartengono alla circonferenza stessa. (Si impone il passaggio per ciascun punto sostituendo le sue coordinate alle incognite x,y nell’equazione generica x2+y2+ax+by+c=0. Si ottiene un sistema di tre equazioni in tre incognite (a,b,c). Si risolve col metodo che è più opportuno e si sostituiscono i valori trovati nell’equazione generica)

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