Generalizziamo

Profefra, per puro divertimento e per la continua voglia  di giocare con la matematica, invia la generalizzazione del gioco Facciamo due calcoli…

Se

a = 12 + 22 + 32 + …………+ n2 + (n+1)2                           e

b = 1*3 + 2*4 + 3*5 + 4*6 + ………..n*(n+2)

 

quanto vale  a – b ?

 

Il caso particolare vi dovrebbe aiutare moltissimo nella risposta…che è?

 

 

6 Risposte to “Generalizziamo”

  1. profepa Says:

    Non vale!
    Vado a cercare qualche altro gioco e attendo soluzione dettagliata… 😛

  2. Marco Says:

    Esplicito che stanotte non sono riuscito a dimostrare il problema…avevo dato la soluzione per casi…
    ma adesso dopo aver dormito un bel po’ ci ho riprovato…e ho trovato la dimostrazione:

    a=(sommatoria con i che va da i a n di (i)*(i)) + (n+1)^2
    b=(sommatoria con i che va da i a n di (i)*(i+2))
    a-b= (sommatoria con i che va da i a n di (i)*(i)) + (n+1)^2 – (sommatoria con i che va da i a n di (i)*(i+2))
    essendo le due sommatorie con lo stesso indice i posso unirle e…
    a-b= (sommatoria con i che va da i a n di (i)*(i) – (i)*(i+2)) + (n+1)^2
    adesso raccolgo i nella sommatoria e trovo
    a-b= (sommatoria con i che va da i a n di (i)*(i-(i+2))) + (n+1)^2
    svolgo la sommatoria
    a-b=a-b= (sommatoria con i che va da i a n di -2i )+ (n+1)^2
    adesso la sommatoria restituisce valore negativo e posso scrivere
    a-b= (n+1)^2 + (sommatoria con i che va da i a n di -2i )
    porto fuori dalla sommatoria -2 e svolgo il quadrato di n+1
    a-b=n^2+2n+1 -2*(sommatoria con i che va da i a n di i)
    cioè la somma dei primi n numeri che si calcola con la formula n*(n+1)/2
    a-b=n^2+2n+1- 2*n*(n+1)/2 –> 2* e /2 si semplificano e rimane
    a-b=n^2+2n+1-n*(n+1)..svolgendo
    a-b=n^2+2n+1-n^2-n quindi a-b=n+1

  3. profegi Says:

    Pare profepa che tu abbia trovato pane per i tuoi denti!!!!!

  4. profepa Says:

    La tua dimostrazione è corretta se sostituisci però a
    “sommatoria con i che va da i a n”
    sommatoria con i che va da 1 a n
    Io lo avrei dimostrato così:

    Consideriamo b
    1*3 = (2-1)*(2+1) = 2^2 – 1
    2*4 = (3-1)*(3+1) = 3^2 – 1
    3*5 = (4-1)*(4+1) = 4^2 – 1
    …..
    …..
    n*(n+2) = [(n+1)-1]*[(n+1)+1] = (n+1)^2 – 1

    Quindi b = 2^2 + 3^2 + 4^2 +…+ (n+1)^2 – 1 – 1 ……. – 1
    = 2^2 + 3^2 + 4^2 +…+ (n+1)^2 – (n+1)

    segue che a – b = n +1

  5. Marco Says:

    Si nella fretta ho scritto i invece di 1 poi ho fatto copia e incolla…nn mi sono accorto..comunque intendevo 1 credo si capisse… 🙂


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