Uno strano parcheggiatore

Ecco il 1° dei 13112221 enigmi e/o giochi che Francesco ha cercato:

Un parcheggiatore ha un tariffario un pò particolare: chiede 1 Euro per la prima ora di sosta, 0,5 Euro per la seconda ora di sosta, 0,25 Euro per la terza ora di sosta, 0,125 Euro per la quarta ora di sosta e così via. Ipotizzando che un’auto rimanga in sosta per un tempo infinito, se è possibile determinarlo, quanto avrà guadagnato il parcheggiatore? Sarà diventato infinitamente ricco?

Pubblicato su gioco. 27 Comments »

27 Risposte to “Uno strano parcheggiatore”

  1. profepa Says:

    Che dite, diamo un “aiutino”?

  2. profema Says:

    A chi?
    Non mi pare ci sia anima viva…

  3. profepa Says:

    E io che speravo che qualche studente commentasse “Siiiiii”!! 😦

  4. profema Says:

    Visto che i ragazzi non giocano…giochiamo noi!
    Una domanda: si raggiunge la fine della sosta se il tempo di sosta è infinito?

  5. Francesco Says:

    E’ sufficiente pensare che si tende all’infinito…….non dobbiamo per forza raggiungerlo…..ma così facendo scopriremo il limite e quindi capiremo se questo parcheggiatore potenzialmente potrà diventare infinitamente ricco.
    In pratica, o c’e’ un limite di guadagno che non posso superare oppure qualunque cifra è superabile sostando per un tempo abbastanza lungo.
    Forse sono stato un pò criptico.

  6. profema Says:

    Non si può non essere criptici a parlare di infinito e infinitesimi nella realtà! Dovrebbe dirci qualcosa in merito il buon Zenone…
    Ma il povero parcheggiatore diventerà infinitamente vecchio?
    profemachesidiverteafaringrullire 😉

  7. profema Says:

    ma qui in giro, secondo voi, ci sono persone che sanno che esistono degli…’affari’… chiamati limiti?

  8. profepa Says:

    Io qualcosa mi ricordo… 🙂
    Quanto ai nostri studenti è più facile che la parola “limite” suggerisca qualcosa tipo “o s t a c o l o non superabile”. Troppo cattiva? No, stamani ho provato a chiedere la definizione di derivata (temeraria!).

  9. profema Says:

    Ehi profepa… hai visto che piega sta prendendo questo blog? Muro del pianto di prof che non hanno intenzione di rinunciare a insegnare matematica. Contro tutto e tutti. ;-P
    Presuntuosa?

  10. profema Says:

    Comunque appena ho tempo vi metto la mia soluzione. Così cerchiamo insieme quella più… elegante! ;-P

  11. profepa Says:

    Almeno una valvola di sfogo e soprattutto con qualcuno in empatia!!!

    Risposta al quesito – No, il parcheggiatore non è diventato ricco:al massimo potrà usare il carrello del supermercato (almeno quello vicino a casa mia 🙂 dove è necessaria una moneta da 2 euro per sbloccare!)

  12. profe3 Says:

    Ma guarda come si divertono a fine anno… si vede che sono l’unica “nominata” e che la fine d’anno la vedo…al limite!!!!!

  13. Simone Says:

    Mi sembra il mito di Achille e la tartaruga

    Non diventa ricco assolutamente

    Perchè, aumenta si, ma ad un certo punto aumenterà di valori talmente piccoli e oltre la virgola che sommandoli non andranno mai ad aumentare l’unità…

    Però comunque c’è da precisare che il valore da sommare, seppur infinitisamente piccolo, non sarà mai 0…alla fine è un limite…tenderà allo 0 ma non ci arriva mai…

    Insomma sono indeciso tra:

    1) Non diventerà ricco perchè ad un certo punto ad aumentare sarà solo il numero di valori decimali oltre la virgola…di sicuro mi sono espresso male, ma spero di essermi fatto un pochino capire…

    2) Diventerà ricco, ma dopo svariate ere geologiche e migliaia di big ben

    Attendo risposte

  14. profepa Says:

    Certo che si tratta del paradosso di “Achille e la tartaruga” , formulato dal filosofo Zenone di Elea (500 a.C.), in una delle sue molteplici varianti. Zenone vuole dimostrare l’impossibilità, da parte di Achille di raggiungere la tartaruga.
    Per seguire il suo ragionamento ipotizziamo che Achille sia due volte più veloce della tartaruga, che il percorso rettilineo sia lo stesso e che Achille dia dieci metri di vantaggio alla tartaruga.
    Quando Achille avrà percorso dieci metri, la tartaruga si troverà più avanti di Achille di cinque;
    quando Achille avrà percorso quei cinque, la tartaruga si troverà avanti di due metri e mezzo e
    così via all’infinito; pertanto, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
    L’errore nel ragionamento è quello di ritenere che una somma di infiniti termini debba dare sempre un risultato infinito!
    Questo ragionamento è facilmente confutabile facendo calcoli elementari di fisica (moto rettilineo uniforme) mentre da un punto di vista matematico abbiamo bisogno del concetto di limite…

  15. Simone Says:

    Quindi in pratica la prima soluzione a cui avevo pensato è quella giusta, seppur un po’ grezza?

  16. profema Says:

    Simone… ma è tutto grezzo a casa tua?

  17. desireclery Says:

    se io parcheggio la macchina ma non so quanto mi tratterrò prima di riprenderla per tornare a casa, il gestore del parcheggio mi registra l’ingresso e mi da qualcosa tipo un ticket per pagare all’uscita a seconda del tempo trascorso in parcheggio. ma se il tempo di sosta è infinito la mia macchina non uscirà mai dal parcheggio! quindi il gestore del parcheggio io non lo pagherò mai e lui non diventerà mai ricco. oppure, lo pagherò al limite per x tempo posteggiato che tende all’infinito. ma allora il tempo non sarebbe più infinito ma finito. può essere questa la soluzione?
    vi lascio con una domanda-battuta matematica: sapete cos’è un orso polare?

  18. Francesco Says:

    Per quanto riguarda la soluzione che hai dato, purtroppo, devo dirti che la separa da quella corretta l’infinito.
    Però non demordere….
    Invece, sull’orso polare posso dirti che si tratta di un orso cartesiano che ha cambiato sistema di coordinate…..
    Cosa credevi che noi matematici non avessimo il senso dell’umorismo ?
    Altrimenti, come avremmo fatto a sopravvivere in tutti questi duri anni di insegnamento ?

  19. desireclery Says:

    Allora punto anche io sul paradosso di Achille… è l’unica soluzione probabile…
    Ma allora sapete anche quella del bimbo complessato, che significa che è figlio di madre reale e padre immaginario…

  20. Francesco Says:

    Si carina, ma che ne dici di questa ?

    Gesù ai discepoli: In verità, in verità vi dico: y=x^2-4x+7.
    I discepoli commentano un po’ fra di loro, poi Pietro si avvicina mestamente a Gesù, dicendogli: Maestro, perdonaci, ma non comprendiamo il tuo insegnamento…
    E Gesù, arrabbiato: Sciocchi, è una parabola!

  21. studentessafuoricorso Says:

    Invito tutti a proseguire nei commenti, è divertente vedere come si “rilassano” i prof a fine anno 😛

    … e con un altro paio di freddure/barzellette come queste mi riterrò automaticamente esonerata dal dover pagare la scommessa che a questo punto credo di aver perso…

    Per i ragazzi sui quali avevo puntato: me la pagherete

    Viv_lavostrawebmaster 🙂

  22. desireclery Says:

    Francesco, la sapevo quella della parabola… ma tu sapevi che la radice di due è molto preoccupata? ormai sono passati trenta decimali e non le è venuto il periodo. Teme di essere incinta, anche se cio’ le sembra irrazionale!

  23. profepa Says:

    Studentessafuoricorso,
    credo ti possa ritenere esonerata. 😛

  24. Francesco Says:

    Dopo questa breve parentesi tipo la sai l’ultima….torniamo seri e diciamo al povero parcheggiatore quanto guadagnerà…prima che si infili il tubo di scappamento in gola e la faccia finita con gli infiniti e gli infinitesimi.

    Facciamo un pò di conti esaminando le somme parziali al trascorrere delle ore:

    dopo un’ora avremo S(0) = 1 (parto da zero solo per semplificare le cose)

    S(1) = 1 + 1/2 = 3/2 = 1 + (2 -1)/2

    S(2) = 1 + (1/2 + 1/4) = 1 + 3/4 = 1 + (2^2 -1)/2^2

    S(3) = 1 + (1/2 + 1/4 + 1/8) = 1 + 7/8 = 1 + (2^3 -1)/2^3

    S(4) = 1 + (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16) = 1 + 15/16 = 1 + (2^4 – 1)/2^4
    .
    .
    .
    S(n) = 1 + (2^n -1)/2^n

    Per sapere quanto guadagna all’infinito è sufficiente calcolare lim[1 + (2^n -1)/2^n] per n che tende a + infinito o ancora più semplicemente

    lim(2 – 1/2^n) per n che tende a + infinito.

    Dunque il limite superiore del guadagno del parcheggiatore è 2 euro.

    ————————————————————

    Altro modo per arrivarci:

    S(n) = 1 + 1/2 + 1/2^2 + ……..1/2^n

    S(n)/2 = 1/2 + 1/2^2 + …………1/2^(n+1)

    sottraendo membro a membro le due uguaglianze si ha:

    S(n)/2 = 1 – 1/2^(n+1)

    S(n) = 2 – 1/2^n

    e come prima lim(2 – 1/2^n) per n che tende a + infinito = 2

  25. desireclery Says:

    beh, che dire, mi inchino davanti a cotante progressioni e limiti! da chimica, mi sa che è meglio che continuo a smanettare con gli elettroni. sempre da chimica puntavo più sul ragionamento qualitativo che non quantitativo, per questo avevo solo accennato ai limiti ma avevo trovato la probabile soluzione più macroscopica ispirata al ticket da consegnare all’usicta del parcheggio…

  26. Francesco Says:

    Errata corrige:

    volevo scrivere estremo superiore e non limite superiore…..non è cosa da poco !!!

  27. profepa Says:

    Grazie, Fra!


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