Studio di funzione di una variabile

Inserisco links, vecchi e nuovi, con esempi ed esercizi svolti:

calcolo limiti (test on line) ;

asintoti (test on line)  ;

calcolo derivate (test on line) ;

studio funzioni ;

test di autovalutazione ;

studio di 3 funzioni ;

questionario funzioni .

Ammortamenti

Pubblico a richiesta il file che mi è servito ad introdurre gli ammortamenti in laboratorio. E’ solo una base di partenza: può essere sicuramente migliorato!

Profepa

Risultati test di matematica finanziaria

Ragazzi della mia quarta: ho corretto il test!  Se  non riuscite ad aspettare il 10 di gennaio, anzi l ’11 perchè ci vediamo di martedì, se non riuscite a pensare alla festa dell’ultimo dell’anno senza avere il responso     , sapete come fare…

Esercizi guidati di matematica finanziaria

In vista del compito sulle rendite, e soprattutto del test riassuntivo che ancora non abbiamo fissato, ho trovato questi esercizi svolti che potrebbero esservi utili:

montante di una rendita posticipata

montante di una rendita anticipata

valore attuale di una rendita posticipata

valore attuale di una rendita anticipata

valore attuale di una rendita differita

costituzione di un capitale

Qui , inoltre, troverete una spiegazione riguardante il valore attuale di una rendita ad un tempo qualsiasi e qui una  sulla ricerca della rata o del numero di rate.

Sospensione di giudizio a.s. 2009/2010

Come preparazione ecco i testi delle prove della sospensione giudizio svolte nel settembre 2009:

Classe prima

Classe seconda

Classe terza

Classe quarta

Qui, inoltre, trovate le prove dell’anno precedente.

Riprendiamo il lavoro

Classe terza: questa è un’esercitazione in vista del compito, da fare per mercoledì. Mercoledì ci sarà un test sull’iperbole, come previsto per la scorsa settimana se non vado errata. Spero che abbiate studiato l’iperbole e ripassato bene circonferenza ed ellisse: avete fatto la scheda di riepilogo?

Classe quinta: domani avrete la vostra terza prova come previsto. Avete avuto tutto il tempo di studiare e ripassare le cose: speriamo bene . Poi faremo il compito sui problemi di scelta a più alternative sia con effetti immediati che con effetti differiti. Ma per questo ci vediamo domani.

Classe quarta: abbiamo anche noi un compito da fare. Spero che non vi siate dimenticati tutto quello che avevamo detto due settimane fa. Provate a  completare questa scheda come avevamo fatto in classe.

Non sapevo cosa farci!

Questo mi ha detto un mio studente di una prima classe dopo essere stato sul blog. “E’ vero, il blog è nato per il triennio e forse per il biennio c’è poco materiale…” “Ero nella pagina iniziale e non sapevo che fare.” “Hai visto le scritte in azzurro nella colonna di destra e di sinistra? Avrai notato che se ci passi sopra il mouse ti viene la classica “manina”? Potevi clickare e andare a leggere qualche post, potevi fare un commento…e poi hai visto il calendario?” “No, nooo” ” In corrispondenza dei giorni colorati puoi trovare dei post pubblicati”

Adesso non posso che pubblicare qualcosa per lui e i suoi compagni!

Ho trovato il seguente programma myalgebra che è un risolutore (richiama Derive) on line. Cosa ci puoi fare? Per esempio verificare che lo sviluppo degi tuoi esercizi  sui prodotti notevoli sia corretto.

Ti si aprirà la seguente schermata:

in cui puoi già inserire la tua espressione e ottenere il risultato clickando su ANSWER.

N.B. Come in DERIVE le potenze si inseriscono digitando^e poi l’esponente.

Se clicki subito su ANSWER senza digitare l’espressione ti si aprirà questa schermata in cui, una volta inserito ciò che hai digitato, selezionando SHOW, otterai la scrittura matematica. In select Topic ci saranno varie opzioni legate a ciò che hai immesso, nel nostro caso SIMPLIFY

Naturalmente niente può sostituire la tua escuzione dell’esercizio!  BUON LAVORO!

C’è infinito ed infinito

Sull’onda della lettura del libro consigliato da profefra, ho fatto tre lezioni sull’infinito in quarta. Chiamatemi Nico.

Ho parlato dei numeri naturali, abbiamo dimostrato che i numeri primi sono infiniti, che sono tanti quanti i razionali, che sono meno degli irrazionali. Abbiamo immaginato Achille che parte e non arriva mai, abbiamo dimostrato che invece arriva perchè la somma di infiniti termini 1+/2+1/4+1/8+…  è uguale a 2.

Magari ho perso tre ore ma l’aver visto, negli occhi di alcuni, accendersi la lampadina mentre dicevano: Ho capito! non ha prezzo.

E si sono pure ricordati che in questo blog c’erano della barzellette-giochini riferiti a questa storia.

Test a risposte multiple

Pubblico sul blog due test a risposte multiple con le soluzioni: dieci domande sulla circonferenza per la terza e dieci domande di matematica finanziaria (capitali e rendite) per la quarta.

test circonferenza

test finanziaria

Rendite: ricerca della rata o del numero di rate

RICERCA DELLA RATA

Se io conosco il valore di una rendita qualsiasi ad un’epoca qualsiasi, oltre al numero delle rate e al tasso di interesse usato, posso determinare il valore della rata, risolvendo l’equazione che ottengo ponendo R=x nella relazione di equivalenza finanziaria (la stessa che avrei scritto se fosse stato incognito il valore della rendita)

RICERCA DEL NUMERO DI RATE

Se,  invece, conosco il valore di una rendita qualsiasi ad un’epoca qualsiasi, oltre all’importo della rata e al tasso di interesse, posso determinare il valore di n incognito dalla stessa relazione di equivalenza finanziaria che avrei scritto se fosse stato incognito il valore della rendita. In questo caso l’equazione è un po’ più complicata ma, con un po’ di pazienza e con i logaritmi, riesco a trovare la soluzione, cioè il numero di rate.  Di solito, però, la soluzione non è accettabile perché non è un numero intero. Si procede allora ai cosiddetti arrangiamenti.  Supponiamo che n sia un numero reale compreso tra i due numeri interi a e b, con a<b.

1)Scelgo a come numero di rate e aggiungo un capitale (detto rata aggiuntiva) ad una certa epoca (potrebbe essere un periodo dopo l’ultima rata oppure aggiunto alla prima rata o all’ultima) per rendere la rendita equivalente al capitale unico fissato. Per determinare l’importo di questo capitale, fissata l’epoca, devo applicare sempre il principio di equivalenza finanziaria.

2) Scelgo come numero di rate a (oppure b) e determino di conseguenza l’importo della rata che rende la rendita equivalente al capitale unico fissato. Se scelgo a come numero di rate, l’importo della rata risulterà maggiore di R dato dal testo del problema; se invece scelgo b come numero di rate, troverò una rata di importo minore di R assegnato dal problema.

 

Valore di una rendita qualsiasi ad un’epoca qualsiasi

Una rendita è una successione di capitali pagabili o esigibili ad epoche diverse.

Parliamo per ora di rendite annue (l’intervallo tra una scadenza e l’altra è un anno) a rata costante (il capitale da pagare o riscuotere è sempre uguale).

Una rendita può essere immediata o differita, anticipata o posticipata: queste informazioni, insieme al numero di rate o, in altri casi, la scadenza della prima rata, ci servirà per riportare la rendita sull’asse dei tempi. Questo è un passo fondamentale per affrontare tutti i problemi con le rendite e va, quindi, eseguito con molta cura e precisione.

Supponiamo quindi, di conoscere R, n (numero di rate), i e di sapere quando viene versata la prima rata e, di conseguenza, tutte le altre. Possiamo, allora, determinare l’importo del capitale unico equivalente alla rendita (cioè agli n versamenti) ad un’epoca qualsiasi: basta che riporti ogni rata all’epoca da me scelta moltiplicandola per il fattore di capitalizzazione o di sconto con l’esponente opportuno.  Se desidero trovare il valore della rendita ad un’altra epoca, basta che sposti nel tempo il capitale unico già trovato.

C’è un ‘trucco’ per evitare di prendere una rata per volta e spostarla all’epoca prescelta : in realtà non è un trucco e neppure una magia ma una piccola dimostrazione che faremo prima o poi.

Intanto ve la consegno:

Se moltiplico il valore del singolo versamento (R) per un fattore strano chiamato a figurato n al tasso i troviamo il capitale unico equivalente agli n versamenti uguali ad R (cioè il valore della rendita) un periodo prima della scadenza della prima rata (un anno prima se la rendita è annua)

Se voglio trovare il valore della rendita ad un’altra epoca qualsiasi, a questo punto non ho problemi perché V è un capitale e lo posso spostare nel tempo con le formule della capitalizzazione composta.

NB Quello che ho scritto qui sopra vale per ogni tipo do rendita e serve per trovare il valore di una rendita qualsiasi ad un’epoca qualsiasi: NON SERVE STUDIARE UNA FORMULA DIVERSA PER OGNI TIPO DI RENDITA

Ecco qua il compito sulla capitalizzazione semplice dato alla classe quarta: un compitino semplice, da cinquanta minuti.

Se non che qualcuno, dopo ore di spiegazione, ancora crede che per avere il tempo espresso in semestri si debba dividere per due il numero degli anni…

Indicazioni per il lavoro estivo.

Ci sono diversi studenti cui ho raccomandato, al di là del risultato finale dello scrutinio, di tenersi in allenamento. Naturalmente rimane un’ipotesi … però, forse, chissà, potrà esserci almeno uno che, magari a settembre, prova a riguardarsi qualcosa… se proprio non ha altro da fare!

Idealista come sempre, inserisco le indicazioni per lo studio individuale per la

classe prima

classe seconda

classe terza

classe quarta

Inoltre è possibile eseguire test on line ed esercizi guidati utilizzando i contributi del link materiali didattici .

Il grafico di una funzione

Ecco che, finalmente, dopo mesi di domini, intersezioni, asintoti, calcolo di limiti e derivate, risoluzione di disequazioni (!), siamo arrivati a tracciare il grafico (approssimativo) di una funzione… Scaletta di studio della funzione impeccabile, trovate tutte le informazioni ma questo grafico proprio non si riesce a tracciarlo! “Coraggio, pazienza, con un pò di allenamento ci riuscirete“, dico ai miei studenti, “tutte le informazioni devono combinarsi e integrarsi“, ripeto. Risultato? Ancora non si riesce ad otttenere un abbozzo di grafico.   

Proviamo ad allentare l’ attenzione dai calcoli: per questo inserisco una scheda in cui dalle informazioni sulla funzione si deve tracciare il grafico e  un’ altra con le corrispondenti funzioni e il loro grafico.

Studio della derivata prima

Ecco  gli esercizi assegnati in preparazione del prossimo compito e parzialmente svolti.

Spero che qualcuno di voi (sì, proprio voi) se ne accorga in tempo utile…

Calcolo di derivate

Ecco un collegamento dove potete esercitarvi (correzione on line) con

 

· calcolo di derivate (applicando la definizione): 

http://dinamico2.unibg.it/ctd/matgen/der/Es1110.htm

· calcolo di derivate:

http://dinamico2.unibg.it/ctd/matgen/der/Es1120.htm

· retta tangente:

http://dinamico2.unibg.it/ctd/matgen/der/Es1130.htm

metodo di bisezione

Questo è il compito assegnato in quarta dal professor DP sul metodo di bisezione.  Vi ricordo di rileggerlo e di ripassare per giovedì.

Ancora limiti?

Ecco un collegamento dove potete esercitarvi (correzione on line) con

·         calcolo di limiti:    http://dinamico2.unibg.it/ctd/matgen/lim/Es1020.htm

·         individuazione asintoti: http://dinamico2.unibg.it/ctd/matgen/lim/Es1060.htm

Cerca l’errore

Questa è una bozza per il ripasso dei limiti di funzionali razionali intere e fratte. Bozza per due motivi: perché deve essere completata dai numerosi esempi e perché è da rileggere e, se tanto mi da tanto, ci saranno almeno dieci o dodici errori. Il primo che li trova vince… io la rileggo domani a scuola!

Buonanotte

P.S. questo, invece, è il testo dell’ultimo compito sui limiti.

Compiti per le vacanze

Questi sono i compiti per la classe terza (ricordo che chi mette per primo i risultati di ciascun gruppo di esercizi avrà un… bonus)

Questi i compiti della classe quinta (fate per ultimi i problemi dell’esame di maturità, soffermandosi soprattutto sulla parte teorica, la descrizione del procedimento) Aggiungete tutte le domande aperte che vi ho fatto scrivere nei mesi scorsi e rispondete in otto-dieci righe (su un foglio a protocollo se vi interessa che io le controlli e dia loro una valutazione)

Tra i materiali didattici trovate lo svolgimento dei problemi dell’ esame di maturità e qui avete un esempio di svolgimento con Derive: è il primo problema di massimi e minimi vincolati con il metodo delle linee di livello. (Mancano tutti i commenti e le notazioni che ho lasciato da scrivere a voi)

Per la classe quarta ci sono quei due o tre esercizi sul libro ;-P. In realtà sono una ventina di studi di funzione fino alla ricerca degli asintoti verticali e orizzontali.