Prova Invalsi 2010/2011 – Matematica

Ecco il testo di matematica , con la  correzione  ufficiale, della prova Invalsi per la seconda classe della scuola secondaria superiore.

Museo del calcolo

Possiamo visitare il museo del calcolo, allestito da MATEUREKA , attraverso un tour virtuale che parte dalle origini della matematica, passa attraverso la sezione riservata alle calcolatrici e si conclude con approfondimenti legati ad aspetti  e concetti matematici. Buon percorso!

A proposito di dimostrazione…

…vi sembra una dimostrazione del teorema di Pitagora?

Rendite: ricerca della rata o del numero di rate

RICERCA DELLA RATA

Se io conosco il valore di una rendita qualsiasi ad un’epoca qualsiasi, oltre al numero delle rate e al tasso di interesse usato, posso determinare il valore della rata, risolvendo l’equazione che ottengo ponendo R=x nella relazione di equivalenza finanziaria (la stessa che avrei scritto se fosse stato incognito il valore della rendita)

RICERCA DEL NUMERO DI RATE

Se,  invece, conosco il valore di una rendita qualsiasi ad un’epoca qualsiasi, oltre all’importo della rata e al tasso di interesse, posso determinare il valore di n incognito dalla stessa relazione di equivalenza finanziaria che avrei scritto se fosse stato incognito il valore della rendita. In questo caso l’equazione è un po’ più complicata ma, con un po’ di pazienza e con i logaritmi, riesco a trovare la soluzione, cioè il numero di rate.  Di solito, però, la soluzione non è accettabile perché non è un numero intero. Si procede allora ai cosiddetti arrangiamenti.  Supponiamo che n sia un numero reale compreso tra i due numeri interi a e b, con a<b.

1)Scelgo a come numero di rate e aggiungo un capitale (detto rata aggiuntiva) ad una certa epoca (potrebbe essere un periodo dopo l’ultima rata oppure aggiunto alla prima rata o all’ultima) per rendere la rendita equivalente al capitale unico fissato. Per determinare l’importo di questo capitale, fissata l’epoca, devo applicare sempre il principio di equivalenza finanziaria.

2) Scelgo come numero di rate a (oppure b) e determino di conseguenza l’importo della rata che rende la rendita equivalente al capitale unico fissato. Se scelgo a come numero di rate, l’importo della rata risulterà maggiore di R dato dal testo del problema; se invece scelgo b come numero di rate, troverò una rata di importo minore di R assegnato dal problema.

 

Valore di una rendita qualsiasi ad un’epoca qualsiasi

Una rendita è una successione di capitali pagabili o esigibili ad epoche diverse.

Parliamo per ora di rendite annue (l’intervallo tra una scadenza e l’altra è un anno) a rata costante (il capitale da pagare o riscuotere è sempre uguale).

Una rendita può essere immediata o differita, anticipata o posticipata: queste informazioni, insieme al numero di rate o, in altri casi, la scadenza della prima rata, ci servirà per riportare la rendita sull’asse dei tempi. Questo è un passo fondamentale per affrontare tutti i problemi con le rendite e va, quindi, eseguito con molta cura e precisione.

Supponiamo quindi, di conoscere R, n (numero di rate), i e di sapere quando viene versata la prima rata e, di conseguenza, tutte le altre. Possiamo, allora, determinare l’importo del capitale unico equivalente alla rendita (cioè agli n versamenti) ad un’epoca qualsiasi: basta che riporti ogni rata all’epoca da me scelta moltiplicandola per il fattore di capitalizzazione o di sconto con l’esponente opportuno.  Se desidero trovare il valore della rendita ad un’altra epoca, basta che sposti nel tempo il capitale unico già trovato.

C’è un ‘trucco’ per evitare di prendere una rata per volta e spostarla all’epoca prescelta : in realtà non è un trucco e neppure una magia ma una piccola dimostrazione che faremo prima o poi.

Intanto ve la consegno:

Se moltiplico il valore del singolo versamento (R) per un fattore strano chiamato a figurato n al tasso i troviamo il capitale unico equivalente agli n versamenti uguali ad R (cioè il valore della rendita) un periodo prima della scadenza della prima rata (un anno prima se la rendita è annua)

Se voglio trovare il valore della rendita ad un’altra epoca qualsiasi, a questo punto non ho problemi perché V è un capitale e lo posso spostare nel tempo con le formule della capitalizzazione composta.

NB Quello che ho scritto qui sopra vale per ogni tipo do rendita e serve per trovare il valore di una rendita qualsiasi ad un’epoca qualsiasi: NON SERVE STUDIARE UNA FORMULA DIVERSA PER OGNI TIPO DI RENDITA