Filastrocca

           Lamento decimale

di Gianni Rodari da Filastrocche per tutto l’anno(Einaudi Ragazzi, 1980).

A destra della virgola,
cagion dei nostri mali,
noi siamo, ahi tristi, ahi misere,
le cifre decimali.

Numeri? Noi siam polvere!
Se in mille ci mettiamo
una sull’altra, è inutile,
l’unità non tocchiamo.

Della tribù aritmetica,
sí numerosa e varia,
siam certo i più poveri,
trattati come paria.

Centinaia, Decine
ci tengono a distanza:
- Quelli? Rottami, briciole,
cocci, roba che avanza…

Se uno scolar pietoso
la virgola cancella
salva noi, però in cambio
si gioca la pagella…

La neve, i numeri e i… baci

<<Sai cosa c’è alla base della matematica?» dico, «Alla base della matematica ci sono i numeri. Se qualcuno mi chiedesse che cosa mi rende davvero felice, io risponderei: i numeri. La neve, il ghiaccio e i numeri. E sai perché?» Spacca le chele con uno schiaccianoci e ne estrae la polpa con una pinzetta curva. «Perché il sistema matematico è come la vita umana. Per cominciare ci sono i numeri naturali. Sono quelli interi e positivi. I numeri del bambino. Ma la coscienza umana si espande. Il bambino scopre il desiderio, e sai qual è l’espressione matematica del desiderio?» Versa nella zuppa la panna e alcune gocce di succo d’arancia. «Sono i numeri negativi. Quelli con cui si dà forma all’impressione che manchi qualcosa. Ma la coscienza si espande ancora, e cresce, e il bambino scopre gli spazi intermedi. Fra le pietre, fra le parti di muschio sulle pietre, fra le persone. E tra i numeri. Sai questo a cosa porta? Alle frazioni. I numeri interi più le frazioni danno i numeri razionali. Ma la coscienza non si ferma lì. Vuole superare la ragione. Aggiunge un’operazione assurda come la radice quadrata. E ottiene i numeri irrazionali». Scalda il pane nel forno e mette il pepe in un macinino. «È una sorta di follia. Perchè i numeri irrazionali sono infiniti. Non possono essere scritti. Spingono la coscienza nell’infinito. E aggiungendo i numeri irrazionali ai numeri razionali si ottengono i numeri reali». Sono finita al centro della stanza per trovare posto. È raro avere la possibilità di chiarirsi con un’altra persona. Di norma bisogna combattere per avere la parola. Questo per me è molto importante. «Non finisce. Non finisce mai. Perchè ora, su due piedi, espandiamo i numeri reali con quelli immaginari, radici quadrate dei numeri negativi. Sono numeri che non possiamo figurarci, numeri che la coscienza normale non può comprendere. E quando aggiungiamo i numeri immaginari ai numeri reali abbiamo i sistemi numerici complessi. Il primo sistema numerico all’interno del quale è possibile dare una spiegazione soddisfacente della formazione dei cristalli di ghiaccio. È come un grande paesaggio aperto. Gli orizzonti. Ci si avvicina a essi e loro continuano a spostarsi. È la Groenlandia, ciò di cui non posso fare a meno! È per questo che non voglio essere rinchiusa». Sono finita davanti a lui. «Smilla» dice, «Posso baciarti?».

        Dal romanzo “Il senso di Smilla per la neve” di Peter Hoeg

Prof… non ho capito…

L’immensa proliferazione di scritti sull’insegnamento della matematica potrebbe creare l’impressione che ogni difficoltà incontrata dagli studenti in questa materia dipenda dai professori, e che spetti sempre all’insegnante risolvere i problemi dell’allievo. Certo, i docenti sono pagati anche per questo, ma lo studente ha la sua parte di responsabilità. E’ importante che tu apprenda come imparare la matematica. (…)

Molti studenti sono persuasi che quando ci si blocca su qualche argomento la cosa migliore sia fermarsi, tornare indietro e rileggere la parte incriminata finché non si intravede una luce. (ndr mi sa che qualcuno non fa neanche questo…)

Questo metodo è quasi sempre fatale. La prima regola, come dico sempre ai miei allievi, è proseguire. Ricordati il punto dove ti sei bloccata, non pretendere che sia tutto rose e fiori, e vai avanti. Spesso la frase successiva o il paragrafo seguente ti chiariranno ogni cosa. (… )

Esiste anche un’altra possibilità, dove però è indispensabile l’aiuto del professore.(…) Se ti blocchi su un passaggio matematico è di solito perché non hai capito fino in fondo qualche altra parte della matematica, che viene usata dando per scontato che tu la conosca. (…)

Riassumendo: quando incontri un ostacolo, non preoccuparti e prosegui. Ricordati però dove ti sei bloccata, nel caso il metodo non funzioni. Se non funziona, ritorna dove ti eri fermata e ripercorri i tuoi passi fino a raggiungere un punto fino al quale sei sicura di aver capito tutto. E riprendi da lì.

Ian Stewart     Com’è bella matematica pag.58-60            Bollati Boringhieri

Pane e pensiero

Tre giorni dopo stavamo avvicinandoci alle rovine di un piccolo villaggio chiamato Sippar, quando scorgemmo, steso al suolo, un povero viandante ricoperto di cenci che sembrava gravemente ferito. Era in condizioni pietose. Ci accingemmo a soccorrerlo e in seguito ci narrò la storia della sua sciagura.

Si chiamava Salem Nasair ed era uno dei più ricchi mercanti di Baghdad. Pochi giorni prima, di ritorno da Basra e diretto a el-Hilleh, la sua grande carovana era stata attaccata e rapinata da una banda di nomadi persiani e quasi tutti i suoi compagni erano stati uccisi. Egli, il padrone, era riuscito miracolosamente a salvarsi  nascon­dendosi nella sabbia tra i corpi inanimati dei suoi schiavi.

Quando ebbe terminato il racconto delle sue sventure, ci chiese con voce tremante: «Non avete per caso qual­cosa da mangiare? Sto morendo di fame».

«Ho tre pagnotte» risposi.

«Io ne ho cinque» disse l’Uomo Che Contava.

«Allora» fece lo Sceicco, «vi scongiuro di dividere le vostre pagnotte con me. Vi propongo uno scambio ragio­nevole. Vi darò per il pane Otto monete d’oro, non appena giungerò a Baghdad». E così dividemmo tra di noi le pagnotte.

Il giorno dopo, tardi nel pomeriggio, entrammo nella famosa città di Baghdad, Perla dell’Oriente.

Attraversando una piazza affollata e rumorosa, fummo bloccati dal passaggio di una sfarzosa comitiva alla cui testa cavalcava, su di un elegante sauro, il potente visir Ibrahim Maluf. Vedendo lo sceicco Salem Nasair in nostra compagnia, fece fermare il suo brillante seguito e lo inter­pellò: «Cosa ti è capitato, amico mio? Come mai arrivi qui a Baghdad così mal ridotto, in compagnia di questi due stranieri?

Il povero Sceicco gli narrò nei dettagli quanto gli era accaduto in viaggio, lodandoci ampiamente.

«Ricompensa subito questi due stranieri» ordinò il Vi­sir. Prese dalla borsa otto monete d’oro e le diede a Salem Nasair dicendo: «Ti porterò subito con me a palazzo poi­ché il Difensore dei Fedeli vorrà di sicuro essere informato di questo nuovo affronto dei banditi beduini, che osano attaccare i nostri amici e saccheggiare una carovana sul territorio del Califfo»

A questo punto Salem Nasair ci disse: «Prendo conge­do da voi, amici miei. Desidero però ringraziarvi ancora una volta per il vostro aiuto e, come avevo promesso, compensarvi per la vostra generosità». E, rivolgendosi all’Uomo Che Contava: «Ecco cinque monete d’oro per i tuoi cinque pani». Poi a me: «E tre a te, mio amico di Baghdad, per le tue tre pagnotte».

Con mia grande sorpresa l’Uomo Che Contava sollevò rispettosamente un’obbiezione. «Perdonami, Sceicco! Ma questa suddivisione, che pure sembra semplice, non è matematicamente giusta. Dal momento che ho dato cin­que pagnotte, devo ricevere sette monete. Il mio amico, che ha ceduto tre pagnotte, deve riceverne soltanto una».

«Per il nome di Maometto! » esclamò il Visir vivamente interessato. «Come può questo straniero giustificare una pretesa così assurda?»

Dal romanzo ‘L’uomo che sapeva contare’ Malba Tahan ed. Salani

E voi a chi date ragione? Ovviamente all’Uomo Che Contava, spero… ma come giustificare la sua affermazione?

Il problema più importante per noi…

Il problema fondamentale della matematica scolastica è che non contempla problemi. Oh, conosco bene quelli che vengono spacciati per problemi durante l’ora di matematica, conosco quegli esercizi insipidi. “Questo è una tipologia di problemi, e questo è il modo per risolverlo. Sì, sarà inserito nella verifica. Per casa fare gli esercizi dispari dall’uno al trentacinque.” Che modo triste di imparare la matematica: gli studenti si riducono ad essere delle scimmie ammaestrate.

Ma un problema, un quesito autentico, lineare, genuino, umano, è tutta un’altra cosa. Quanto è lunga la diagonale di un cubo? I numeri primi non finiscono mai? L’infinito è un numero? In quanti modi posso ricoprire una superficie con piastrelle simmetriche? La storia della matematica è la storia dell’umanità che si scontra con quesiti come questi, non il vago rigurgito di formule e algoritmi (insieme ad esercizi artificiosi ideati per poter far uso di quelle formule e di quelli algoritmi).

Un buon problema è qualcosa che non si sa come risolvere. E’ questo che ne fa un valido enigma, e una valida opportunità. (…) Date ai vostri studenti un buon problema, lasciate che si sforzino di risolverlo, che si sentano frustrati. Osservate quello che riescono ad inventarsi. Aspettate finchè il loro desiderio di trovare un’idea non si fa insopportabile, e allora fornite loro qualche strumento. Ma non troppi.

da Contro l’ora di matematica

Un manifesto per la liberazione di professori e studenti

di Paul Lockhart

Il primo scopo del pensiero è la conoscenza

L’immagine è presa da web

Enrico Bombieri è un matematico. A quindici anni già leggeva libri sulla matematica che io non saprei leggere adesso. Ha ricevuto la medaglia Fields nel 1974. E’ nato a Milano nel 1940: ha più o meno l’età dei nonni dei miei studenti; insegna nella School of mathematics, il prestigioso Institute for Advanced Study di Princeton, potete sentirlo parlare in questo video, leggere la traduzione (credo) di quello che ha detto e, se volete, scrivergli una mail. Insomma, è un essere in carne ed ossa. Ai miei studenti sta simpatico perché hanno letto in un libro che cercava con passione la risoluzione di un problema matematico perché suo padre gli aveva promesso una Ferrari. Un’altra cosa per cui è apprezzato nella mia classe è che ha fatto uno scherzo nel quale sono caduti molti tra i più bravi matematici. E per loro è una gran soddisfazione veder cadere i matematici in qualche errore. Il primo aprile 1997 scrisse una mail che iniziava così: “Ci sono sviluppi fantastici alla conferenza che Alain Connes ha tenuto all’Institute for Advanced Study mercoledì scorso” e continuava spiegando che un giovane fisico che assisteva alla conferenza aveva visto ” in un lampo” il modo di utilizzare i suoi studi di fisica, il suo bizzarro mondo di “sistemi supersimmetrici fermionico-bosonici” per attaccare l’ipotesi di Riemann, il problema più difficile della storia della matematica, quello di cui  Bombieri stesso era considerato uno dei custodi più prestigiosi. “Wow! per favore date la massima diffusione a questa notizia!”, concludeva Bombieri, dopo aver dato una piccola spiegazione (più oscura che mai) dei termini precedentemente usati. I matematici caddero in questo scherzo, un po’ perché la data si trasformò in 7 aprile, un po’ perché in alcuni paesi non esiste la tradizione del ‘pesce d’aprile’, un po’ perchè i matematici non aspettavano altro che entrare nel terzo millennio avendo risolto tutti i problemi lanciati da Hilbert all’inizio del ventesimo secolo.  E magari, per la soddisfazione di poter condividere con il mondo il piacere delle proprie scoperte, per la seconda volta, a distanza di pochi anni,  facendoti sentire famoso e desiderato… quasi sexy: dicono che a Wiles (che aveva dimostrato il Teorema di Fermat)abbiano chiesto di posare per la pubblicità della Gap (no, non credo sia lui quello che posa in questa foto)

Beh, alla fine a Bombieri non restò che confessare che la sua mail era uno scherzo.

E l’ipotesi di Riemann entrò nel terzo millennio indimostrata, fiera di rientrare a far parte dei setti problemi che il 24 maggio 2000, in occasione del centenario della sfida lanciata da Hilbert, vennero proposti da un gruppo di famosi matematici come nuova sfida per i matematici del ventunesimo secolo.

to be continued

Una certa ambiguità (grazie profefra)

Vi offro questa prima pagina del romanzo che sto leggendo: vediamo se vi incuriosisce e vi fa capire un po’ di più cosa vuol dire il gusto della scoperta.

Ieri ho ritrovato la calcolatrice che mio nonno mi regalò per il mio dodicesimo compleanno. Era caduta dietro la libreria, e l’ho vista per caso mentre riordinavo lo studio. Erano anni che non ci pensavo più, ma quando l’ho presa in mano mi è parsa un oggetto del tutto familiare. Mancava la «I» della scritta «Texas Instruments», come del resto era sempre stato dopo i suoi primi due giorni di vita; i tasti facevano ancora un ctic di conferma quando venivano premuti; e una volta messe delle batterie nuove, sul display sono apparsi i numerini verdi scintillanti, più vivaci rispetto al grigio monotono delle calcolatrici moderne. Mio nonno era convinto che questa calcolatrice avrebbe segnato un cambiamento nella mia vita: una nuova direzione. E in effetti segnò un cambiamento, anche se non quello che aveva in mente lui.
Senza pensarci, digitai il numero 342. Era lo stesso numero che avevo battuto venticinque anni prima, quando la calcolatrice era nuova di zecca.
«Vuoi vedere un po’ di magia dei numeri?» mi aveva chiesto il nonno vedendomi premere i tasti più o meno a casaccio. Ero seduto nella sua stanza, completamente avvinto da quel regalo di compleanno, benché non sapessi ancora bene cosa farmene. Posò il suo quaderno, arrendendosi temporaneamente al problema matematico che per tutta la mattina aveva resistito ai suoi assalti.
«Sì, Bauji!» avevo risposto entusiasta.
«Inserisci nella calcolatrice un numero di tre cifre a tua scelta senza farmelo vedere». Fu allora che digitai per la prima volta 342, le stesse tre cifre che ho battuto adesso. «Bene. E adesso inserisci un’altra volta lo stesso numero in modo da ottenere un numero di sei cifre» disse poi il nonno. Digitai di nuovo 342: ora il display riportava 342.342.
«Non so che numero tu abbia inserito, Ravi, però so che è esattamente divisibile per 13».
Con «esattamente divisibile», intendeva dire che non c’era resto. Per esempio, il9 è esattamente divisibile per 3 ma non per 4.
L’affermazione di Bauji mi parve bizzarra. Come faceva a sapere che quel numero, scelto a caso e a lui ignoto, era esattamente divisibile per 13? Eppure era proprio così! Divisi 342.342 per 13 e ottenni esattamente 26.334, senza resto.
«È vero» confermai, sbalordito.
Ma lui non aveva ancora finito. «E poi, Ravi, so un’altra cosa: il risultato che hai ottenuto dividendo il numero per tredici, qualunque esso sia, è ulteriormente divisibile per 11». Aveva ragione anche questa volta. 26.334 diviso 11 dava 2394. Come faceva a funzionare? «Ora prendi il numero che hai ricavato e dividilo per 7. Non solo non otterrai alcun resto, ma sarai pure sorpreso dal risultato». Aveva cominciato a passeggiare avanti e indietro per la stanza: capii che era eccitato quanto me.
Divisi 2394 per 7 e ottenni 342! «Oooh! Ma è il numero da cui sono partito! Com’è possibile, Bauji?»
Davanti al mio completo stupore, mio nonno si limitò a sorridere. «Dovrai scoprirlo da te, Ravi» rispose mentre usciva a controllare lo stato delle piantine di pomodoro, l’aggiunta più recente al suo orto dietro casa. Apparentemente era l’unico che riuscisse a coltivare pomodori nella torrida estate secca di Nuova Delhi.

E tu, hai scoperto com’è possibile?

Leggiamo insieme?

Avete mai chiesto a un matematico che soddisfazione ci trovi a fare la matematica? Provateci e vi risponderà con un’altra domanda: e tu che soddisfazione ci trovi a giocare online? I matematici, quelli veri, si divertono un sacco a fare la matematica. A tal punto che si dimenticano spesso di tutto il resto. Inoltre, la matematica, a differenza dei giochi online, è bella. Se la guardi nel profondo porta con sé un legame con il significato della vita e del mondo, con la capacità dell’uomo di porsi domande e risolverle, che poi è ciò che lo rende diverso dagli altri esseri viventi. Ed infine, la matematica ha delle applicazioni nella vita reale da non crederci: dalle cialde del caffé al bypass aorto-coronarico. A differenza dei giochi on line. Ma forse quest’ultima cosa è importantissima ma successiva. Come se aumentasse il piacere e lo stupore il vedere che ciò che mi sono costruito e che mi piace serve a leggere la realtà e a viverci nel modo migliore. Mi piace, però,  pensare che il matematico sia emozionato dalla sua matematica come davanti ad un’opera d’arte, come davanti ad un tramonto, come davanti ad un’enigma che dura da secoli e che si sta finalmente svelando davanti ai suoi occhi. E credo che una piccolissima parte di questaemozione spetti anche a noi, esseri comuni, quando ci mettiamo davanti ad un problema e tentiamo di risolverlo, quando ripercorriamo i passaggi che hanno portato a risolvere una volta per tutte un problema che fino ad un certo punto sembrava difficile o impossibile.

Ed è per far capire questo ai miei studenti che quest’anno avrei voluto leggere con loro un libro: L’enigma dei numeri primi di Marcus Du Satoy.

Ma l’impresa, credetemi, è ardua. Ancora non sono riuscita a far sì che abbiano tutti il libro. Ne ho letto tre paginette in classe di fronte ad una trentina di occhi perplessi nella migliore delle ipotesi, scocciati o annoiati la maggior parte.

‘Prof, io questa emozione credo di non averla mai provata‘ è stato l’unico segno di vita. Caro studentecheancoranonconosco, se alla fine di questi tre anni che ci aspettano, ripensando ai tuoi occhi potrò dire che l’hai provata, avrò raggiunto il mio obiettivo.

Insegnare la matematica non è solo somministrare formule e regole da rispettare: sapere proprietà e leggi è la condizione indispensabile per poterci mettere in cammino verso questa emozione. Raggiungerla insieme è insegnare la matematica.

Pane e pensiero

Tre giorni dopo stavamo avvicinandoci alle rovine di un piccolo villaggio chiamato Sippar, quando scorgemmo, steso al suolo, un povero viandante ricoperto di cenci che sembrava gravemente ferito. Era in condizioni pietose. Ci accingemmo a soccorrerlo e in seguito ci narrò la storia della sua sciagura.

Si chiamava Salem Nasair ed era uno dei più ricchi mercanti di Baghdad. Pochi giorni prima, di ritorno da Basra e diretto a el-Hilleh, la sua grande carovana era stata attaccata e rapinata da una banda di nomadi persiani e quasi tutti i suoi compagni erano stati uccisi. Egli, il padrone, era riuscito miracolosamente a salvarsi  nascon­dendosi nella sabbia tra i corpi inanimati dei suoi schiavi.

Quando ebbe terminato il racconto delle sue sventure, ci chiese con voce tremante: «Non avete per caso qual­cosa da mangiare? Sto morendo di fame».

«Ho tre pagnotte» risposi.

«Io ne ho cinque» disse l’Uomo Che Contava.

«Allora» fece lo Sceicco, «vi scongiuro di dividere le vostre pagnotte con me. Vi propongo uno scambio ragio­nevole. Vi darò per il pane Otto monete d’oro, non appena giungerò a Baghdad». E così dividemmo tra di noi le pagnotte.

Il giorno dopo, tardi nel pomeriggio, entrammo nella famosa città di Baghdad, Perla dell’Oriente.

Attraversando una piazza affollata e rumorosa, fummo bloccati dal passaggio di una sfarzosa comitiva alla cui testa cavalcava, su di un elegante sauro, il potente visir Ibrahim Maluf. Vedendo lo sceicco Salem Nasair in nostra compagnia, fece fermare il suo brillante seguito e lo inter­pellò: «Cosa ti è capitato, amico mio? Come mai arrivi qui a Baghdad così mal ridotto, in compagnia di questi due stranieri?

Il povero Sceicco gli narrò nei dettagli quanto gli era accaduto in viaggio, lodandoci ampiamente.

«Ricompensa subito questi due stranieri» ordinò il Vi­sir. Prese dalla borsa otto monete d’oro e le diede a Salem Nasair dicendo: «Ti porterò subito con me a palazzo poi­ché il Difensore dei Fedeli vorrà di sicuro essere informato di questo nuovo affronto dei banditi beduini, che osano attaccare i nostri amici e saccheggiare una carovana sul territorio del Califfo»

A questo punto Salem Nasair ci disse: «Prendo conge­do da voi, amici miei. Desidero però ringraziarvi ancora una volta per il vostro aiuto e, come avevo promesso, compensarvi per la vostra generosità». E, rivolgendosi all’Uomo Che Contava: «Ecco cinque monete d’oro per i tuoi cinque pani». Poi a me: «E tre a te, mio amico di Baghdad, per le tue tre pagnotte».

Con mia grande sorpresa l’Uomo Che Contava sollevò rispettosamente un’obbiezione. «Perdonami, Sceicco! Ma questa suddivisione, che pure sembra semplice, non è matematicamente giusta. Dal momento che ho dato cin­que pagnotte, devo ricevere sette monete. Il mio amico, che ha ceduto tre pagnotte, deve riceverne soltanto una».

«Per il nome di Maometto! » esclamò il Visir vivamente interessato. «Come può questo straniero giustificare una pretesa così assurda?»

Dal romanzo ‘L’uomo che sapeva contare’ Malba Tahan ed. Salani

E voi? Sapete giustificare matematicamente l’affermazione dell’Uomo Che  Contava?

Un bel pasticcio… l’infinito!

Se avete problemi ad accettare che tra 2 e 3 ci siano infiniti numeri reali e siete ancora più perplessi nell’accettare che tra 2 e 2,5 ce ne siano ancora infiniti (tanti quanti tra 2 e 3) leggete questo racconto L’hotel straordinario, o il milleunesimo viaggio di Ion il tranquillo di Stanislaw Lem.