Piegare la carta

Ho partecipato ad un laboratorio di origami al museo della matematica e da allora girello per l’web in cerca di tutorial, articoli, spiegazioni sull’arte dell’origami. Ho comprato la carta da origami ed ho scoperto il piacere di piegarla, sfruttare simmetrie e proprietà per costruire moduli da assemblare o fiori o dragoni. Ho scoperto che esistono gli assiomi dell’origami e che hanno anche un nome. Ho visto tutorial di emeriti professori con in mano solidi regolari e strani costruiti con la carta, senza colla né forbici. Ho pensato che avere per le mani un quadrato e vedere le sue proprietà non potrà che far bene ai miei studenti e sto progettando un paio di lezioni sull’origami. Origami e geometria, origami modulari o dragoni: tutto da vedere.

Ho imparato a costruire un triangolo equilatero da un quadrato, senza compasso né riga. E vi dirò che mi affascina di più farlo così che col pc. Sarò antica. Ve lo spiego: sciuè sciuè, direbbe un cuoco della tv.

Prendete un foglio quadrato e piegatelo a metà formando due rettangoli: a metà del vostro foglio comparirà una piega che è una delle assi di simmetria del quadrato stesso. Adesso tenete fisso un vertice e portate il vertice contiguo sulla piega appena fatta.

Fate la stessa cosa per il vertice che nella foto sta in basso a sinistra. Riaprite il vostro quadrato e vedrete che le due pieghe oblique si incontrano in un punto: è il terzo vertice del triangolo equilatero.

Ed ecco qua il triangolo equilatero. Avete capito perché facendo così si ottiene proprio un tringolo equilatero?

Ps non so perché il mio quadrato rosso sia diventato rosa e poi viola…

Noi che il cubo di Rubik lo abbiamo fatto senza i tutorial

Sì, proprio noi che negli anni settanta (o erano ottanta?) abbiamo perso tempo a far girellare i quadratini colorati fino a quando abbiamo imparato, chissà come, chissà perché, a farli girare in modo tale che il cubo si ricomponesse come nuovo. Noi che non avevamo google, tutoral su youtube e non sapevamo niente di procedure… io mi domando: ma come accidenti abbiamo fatto? Quello sì che era imparare dall’esperienza.
Io mi sono ricomprata il cubo si Rubik e ci ho giocherallato un po’ sperando (insulsamente) di riuscire a recuperare le mie vecchie competenze. Niente da fare: mi sono dovuta sciroppare tutta una serie di oscuri tutorial che mi parlavano di procedure impossibili da memorizzare senza darne un minimo la motivazione, nemmeno per quelle più semplici. E non ne venivo a capo, anche perché dopo due minuti ero già morta di noia.
Finalmente con i video del post precedente ci sono riuscita. Ma, vi confesso, se dovessi rifarlo dovrei di nuovo farmi aiutare in alcuni passaggi.
Dicono che il signor Rubik sia diventato ricco grazie a questo oggetto neanche troppo complicato, dicono che sia il giocattolo più venduto al mondo, dicono che ci siano 43.252.003.274.489.856.000 (profepa, verifica!) possibili facce diverse. Qualcuno dice anche che basta togliere gli adesivi colorati e riappiccicarli nel modo giusto ma questo non si ascolta neanche.
A me piace prendermi anche adesso il tempo di perdere tempo, sentendomi anche un po’ in colpa ma non fa niente. Mi piace vedere come si può muoverne una parte senza rimescolare l’altra e anche quando sembra rimescolata… voilà, il blù torna col blu e il rosso col rosso e ogni cosa al posto suo. Magari funzionasse così anche nella vita.

Filastrocca

 Cosa si cela dietro questa improbabile, anzi -issima, filastrocca?

AI MODESTI O VANITOSI

AI VIOLENTI O TIMOROSI

DO CANTANDO

GAIO RITMO

LOGARITMO

 

Sequenze

Ecco un gioco on line per individuare il termine successivo di sequenze numeriche di varie difficoltà.

Campi d’Egitto

Ricordate il video n1 della Storia della matematica di Marcus Du Satoy?

Supponiamo che uno degli agricoltori dopo la piena del Nilo debba delimitare un campo della stessa grandezza del campo rettangolare che aveva prima ma in una striscia di terra più lunga del 50% della precedente.

Facile! Basta che l’altra dimensione sia più piccola del 50%! ha gridato un mio alunno. Ma non ha saputo dirmi altro.

A voi chiedo: ha ragione? Se pensate di sì, mostratemi perché. Se pensate di no, mostratemi ancora perché. E ricordatevi il calcolo letterale.

 

Buon anno!

Chi riesce ad ottenere 2011 utilizzando le cifre decimali in ordine crescente e le quattro operazioni?

Pane e pensiero

Tre giorni dopo stavamo avvicinandoci alle rovine di un piccolo villaggio chiamato Sippar, quando scorgemmo, steso al suolo, un povero viandante ricoperto di cenci che sembrava gravemente ferito. Era in condizioni pietose. Ci accingemmo a soccorrerlo e in seguito ci narrò la storia della sua sciagura.

Si chiamava Salem Nasair ed era uno dei più ricchi mercanti di Baghdad. Pochi giorni prima, di ritorno da Basra e diretto a el-Hilleh, la sua grande carovana era stata attaccata e rapinata da una banda di nomadi persiani e quasi tutti i suoi compagni erano stati uccisi. Egli, il padrone, era riuscito miracolosamente a salvarsi  nascon­dendosi nella sabbia tra i corpi inanimati dei suoi schiavi.

Quando ebbe terminato il racconto delle sue sventure, ci chiese con voce tremante: «Non avete per caso qual­cosa da mangiare? Sto morendo di fame».

«Ho tre pagnotte» risposi.

«Io ne ho cinque» disse l’Uomo Che Contava.

«Allora» fece lo Sceicco, «vi scongiuro di dividere le vostre pagnotte con me. Vi propongo uno scambio ragio­nevole. Vi darò per il pane Otto monete d’oro, non appena giungerò a Baghdad». E così dividemmo tra di noi le pagnotte.

Il giorno dopo, tardi nel pomeriggio, entrammo nella famosa città di Baghdad, Perla dell’Oriente.

Attraversando una piazza affollata e rumorosa, fummo bloccati dal passaggio di una sfarzosa comitiva alla cui testa cavalcava, su di un elegante sauro, il potente visir Ibrahim Maluf. Vedendo lo sceicco Salem Nasair in nostra compagnia, fece fermare il suo brillante seguito e lo inter­pellò: «Cosa ti è capitato, amico mio? Come mai arrivi qui a Baghdad così mal ridotto, in compagnia di questi due stranieri?

Il povero Sceicco gli narrò nei dettagli quanto gli era accaduto in viaggio, lodandoci ampiamente.

«Ricompensa subito questi due stranieri» ordinò il Vi­sir. Prese dalla borsa otto monete d’oro e le diede a Salem Nasair dicendo: «Ti porterò subito con me a palazzo poi­ché il Difensore dei Fedeli vorrà di sicuro essere informato di questo nuovo affronto dei banditi beduini, che osano attaccare i nostri amici e saccheggiare una carovana sul territorio del Califfo»

A questo punto Salem Nasair ci disse: «Prendo conge­do da voi, amici miei. Desidero però ringraziarvi ancora una volta per il vostro aiuto e, come avevo promesso, compensarvi per la vostra generosità». E, rivolgendosi all’Uomo Che Contava: «Ecco cinque monete d’oro per i tuoi cinque pani». Poi a me: «E tre a te, mio amico di Baghdad, per le tue tre pagnotte».

Con mia grande sorpresa l’Uomo Che Contava sollevò rispettosamente un’obbiezione. «Perdonami, Sceicco! Ma questa suddivisione, che pure sembra semplice, non è matematicamente giusta. Dal momento che ho dato cin­que pagnotte, devo ricevere sette monete. Il mio amico, che ha ceduto tre pagnotte, deve riceverne soltanto una».

«Per il nome di Maometto! » esclamò il Visir vivamente interessato. «Come può questo straniero giustificare una pretesa così assurda?»

Dal romanzo ‘L’uomo che sapeva contare’ Malba Tahan ed. Salani

E voi a chi date ragione? Ovviamente all’Uomo Che Contava, spero… ma come giustificare la sua affermazione?

Individuiamo uno schema di calcolo

L’altra settimana, nella mia classe prima, ho lanciato questa  proposta:

“Provate ad individuare un trucco per poter calcolare più velocemente il quadrato di un numero la cui cifra delle unità sia uguale a 5?”

L’unico aiuto fornito è stato quello di provare ad eseguire alcuni di questi quadrati ed osservare i risultati ottenuti… Qualcuno ci ha provato davvero ed è riuscito anche a spiegare agli altri compagni.

Volete provare?

I quattro 4

Visto che siamo a parlare di cifre, di numeri naturali, di precedenza tra le operazioni e dell’uso delle parentesi, vi pongo un problemino semplice ma interessante: con quattro 4, le operazioni e, magari, qualche parentesi, riuscite a scrivere dieci  espressioni il cui risultato sono le dieci cifre del sistema metrico decimale?

 

Filetto (o Tic Tac Toe che dir si voglia)

Ricordate il classico gioco? Quello che fate alla lavagna nei giorni dell’occupazione e sul quaderno quando non ce la fate più ad ascoltare i prof?
E’ un gioco molto semplice ma ha un numero grandissimo di possibili sequenze diverse (9x8x7x6=3024 solo per le prime quattro mosse).
Se vogliamo parlare difficile si tratta di un gioco a due persone, finito, senza elementi dovuti al caso, con informazione perfetta (in quanto le mosse di un giocatore sono conosciute anche all’altro). Se nessuno sbaglia (o come si dice se il gioco è giocato razionalmente), nessuno vince e nessuno perde: l’unica possibilità per vincere è che l’avversario sbagli. L’avversario ci deve, cioè, permettere di scegliere una mossa che alla mossa successiva mi consenta di chiudere una fila in due modi diversi: l’avversario ne potrà bloccare solo una ed io sarò il vincitore (se non sbaglio a mia volta e non chiudo la fila, ovvio).

Le possibili aperture sono:  angolo, centro, lato. L’angolo è l’apertura più forte perché l’avversario ha una sola mossa per ‘non sbagliare’ (il centro). Se, invece, metto la prima mossa al centro l’avversario deve mettere la sua mossa agli angoli. Se metto la prima mossa al centro l’avversario deve mettere la sua allineata alla mia orizzontalmente o verticalmente.

x è il primo giocatore e o indica le possibili mosse razionali del secondo.

Se proprio dovete giocarci, giocate razionalmente! Così magari vi passa anche la voglia di giocarci, come succede al computer di War games nel filmato finale del film.

Questo invece è il trailer del film (degli anni settanta… guardate i pc)

Propositiones

Alcuino nacque nei dintorni di York nel 730 circa. Studiò nella cattedrale di York dove c’era una delle più importanti scuole d’Inghilterra e forse d’Europa. Diventò collaboratore e nel 778 rimase l’unico direttore della scuola che, sotto la sua conduzione, aumentò ancora il suo prestigio.

Nel 781, di ritorno da un viaggio a Roma, incontròa Parma, Carlomagno, re dei Franchi, che lo invitò a dirigere la scuola di palazzo presso la sua corte  per i suoi figli e per i figli dei nobili. L’anno seguente Alcuino si trasferì a corte, dove rimase, praticamente, per tutto il resto della sua vita.

La sua opera di educatore e di studioso contribuì alla rinascita culturale che distinse l’epoca in cui visse.

L’insegnamento era fondato sul curriculum delle arti liberali: grammatica, retorica e logica (trivium) geometria, aritmetica, astronomia e musica (quadrivium). All’epoca i numeri erano ancora rappresentati con le cifre romane che rendevano assai difficoltoso eseguire moltiplicazioni e divisioni. L’insegnamento della geometria era molto lontano dal ragionamento ipotetico deduttivo degli Elementi di Euclide ed era legata a problemi pratici. In realtà venivano quindi insegnati i primi elementi di aritmetica e geometria necessari per la vita quotidiana.

E’ stato attribuito ad Alcuino di York la stesura di una raccolta di problemi matematici Propositiones ad acuendos juvenes: è la più antica collezione di problemi matematici in latino attualmente conosciuta, anche se raccolte di problemi appartengono alla tradizione matematica di ogni tempo e luogo.

I problemi che trascrivo sono  problemi del mucchio, che venivano risolti con il cosiddetto metodo della falsa posizione: oggi si risolvono con semplici equazioni di I grado. Il metodo della falsa posizione consiste nell’attribuire un valore a caso al mucchio, cioè all’incognita, ad esempio per risolvere un problema del tipo determina un numero che aumentato della sua terza parte e della sua metà da 77 attribuisco 6 al mucchio e trovo che invece che 77 viene 11: determino il valore del mucchio aggiustando il valore falso assegnato moltiplicandolo per 77/11. Molto più semplice risolvere l’equazione x+x/2+x/3=77, no?

Attenzione: con il metodo della falsa posizione si risolvono solo equazioni del tipo ax+bx+cx=d. Altrimenti bisogna passare al metodo della doppia falsa posizione o qualcosa di questo tipo.

Provate a risolvere i seguenti problemi:

III. PROPOSITIO DE DUOBUS PROFICISCENTIBUS VISIS CICONIIS
Duo homines ambulantes per viam, videntesque ciconias,
dixerunt inter se: Quot sunt? Qui conferentes numerum dixerunt:
Si essent aliae tantae; et ter tantae et medietas tertii,
adject  duabus C essent. Dicat, qui potest, quantae fuerunt,
quae imprimis  ab illis visae sunt?
IV. PROPOSITIO DE HOMINE ET EQUIS in campo pascentisbus.

Quidam homo vidit equos pascentes in campo, optavit dicens:
Utinam essetis mei, et essetis alii tantum, et medietas
medietatis:  certe gloriarer super equos C. Discernat, qui
vult, quot equis imprimis vidit ille homo pascentes?

Qui trovate il testo delle altre propositiones e le soluzioni di 
Alcuino.

Due quesiti

Tempo di vacanze e allora due quesiti per passare un po’ di tempo!
Ecco il primo, sicuramente più facile, ed il secondo.

Moltiplicazione “rompicapo”

Nella seguente moltiplicazione, le lettere A, B, C, D, E, F rappresentano sei cifre diverse (con A diverso da 0).Trovate il numero ABCDEF .

Numero primo?

Il numero  ottenuto sommando   5²⁰   con   2³⁰    è primo?

Riesci a dimostrarlo?

A proposito di radicali

Mentre profepa sta spiegando in seconda la proprietà invariantiva, la semplificazione, la riduzione di più radicali allo stesso indice, due  studenti giocherellano con le loro calcolatrici.  I ragazzi scrivono lo stesso numero di 4 cifre e poi ne calcolano, rispettivamente, la radice quarta e la radice sesta. Con grande stupore, entrambi ottengono come risultato un intero. Quale numero hanno scritto all’inizio?

 

 

Gira e rigira

Due amici percorrono un circuito di 9 km, partendo dallo stesso punto ma in senso contrario. Il primo impiega un’ora per compiere un giro completo. Il secondo, parte dopo 30 minuti e ne impiega altrettanti per finire il giro. Dopo quanto tempo, dalla partenza del primo, si incrociano?

Una certa ambiguità (grazie profefra)

Vi offro questa prima pagina del romanzo che sto leggendo: vediamo se vi incuriosisce e vi fa capire un po’ di più cosa vuol dire il gusto della scoperta.

Ieri ho ritrovato la calcolatrice che mio nonno mi regalò per il mio dodicesimo compleanno. Era caduta dietro la libreria, e l’ho vista per caso mentre riordinavo lo studio. Erano anni che non ci pensavo più, ma quando l’ho presa in mano mi è parsa un oggetto del tutto familiare. Mancava la «I» della scritta «Texas Instruments», come del resto era sempre stato dopo i suoi primi due giorni di vita; i tasti facevano ancora un ctic di conferma quando venivano premuti; e una volta messe delle batterie nuove, sul display sono apparsi i numerini verdi scintillanti, più vivaci rispetto al grigio monotono delle calcolatrici moderne. Mio nonno era convinto che questa calcolatrice avrebbe segnato un cambiamento nella mia vita: una nuova direzione. E in effetti segnò un cambiamento, anche se non quello che aveva in mente lui.
Senza pensarci, digitai il numero 342. Era lo stesso numero che avevo battuto venticinque anni prima, quando la calcolatrice era nuova di zecca.
«Vuoi vedere un po’ di magia dei numeri?» mi aveva chiesto il nonno vedendomi premere i tasti più o meno a casaccio. Ero seduto nella sua stanza, completamente avvinto da quel regalo di compleanno, benché non sapessi ancora bene cosa farmene. Posò il suo quaderno, arrendendosi temporaneamente al problema matematico che per tutta la mattina aveva resistito ai suoi assalti.
«Sì, Bauji!» avevo risposto entusiasta.
«Inserisci nella calcolatrice un numero di tre cifre a tua scelta senza farmelo vedere». Fu allora che digitai per la prima volta 342, le stesse tre cifre che ho battuto adesso. «Bene. E adesso inserisci un’altra volta lo stesso numero in modo da ottenere un numero di sei cifre» disse poi il nonno. Digitai di nuovo 342: ora il display riportava 342.342.
«Non so che numero tu abbia inserito, Ravi, però so che è esattamente divisibile per 13».
Con «esattamente divisibile», intendeva dire che non c’era resto. Per esempio, il9 è esattamente divisibile per 3 ma non per 4.
L’affermazione di Bauji mi parve bizzarra. Come faceva a sapere che quel numero, scelto a caso e a lui ignoto, era esattamente divisibile per 13? Eppure era proprio così! Divisi 342.342 per 13 e ottenni esattamente 26.334, senza resto.
«È vero» confermai, sbalordito.
Ma lui non aveva ancora finito. «E poi, Ravi, so un’altra cosa: il risultato che hai ottenuto dividendo il numero per tredici, qualunque esso sia, è ulteriormente divisibile per 11». Aveva ragione anche questa volta. 26.334 diviso 11 dava 2394. Come faceva a funzionare? «Ora prendi il numero che hai ricavato e dividilo per 7. Non solo non otterrai alcun resto, ma sarai pure sorpreso dal risultato». Aveva cominciato a passeggiare avanti e indietro per la stanza: capii che era eccitato quanto me.
Divisi 2394 per 7 e ottenni 342! «Oooh! Ma è il numero da cui sono partito! Com’è possibile, Bauji?»
Davanti al mio completo stupore, mio nonno si limitò a sorridere. «Dovrai scoprirlo da te, Ravi» rispose mentre usciva a controllare lo stato delle piantine di pomodoro, l’aggiunta più recente al suo orto dietro casa. Apparentemente era l’unico che riuscisse a coltivare pomodori nella torrida estate secca di Nuova Delhi.

E tu, hai scoperto com’è possibile?

Pane e pensiero

Tre giorni dopo stavamo avvicinandoci alle rovine di un piccolo villaggio chiamato Sippar, quando scorgemmo, steso al suolo, un povero viandante ricoperto di cenci che sembrava gravemente ferito. Era in condizioni pietose. Ci accingemmo a soccorrerlo e in seguito ci narrò la storia della sua sciagura.

Si chiamava Salem Nasair ed era uno dei più ricchi mercanti di Baghdad. Pochi giorni prima, di ritorno da Basra e diretto a el-Hilleh, la sua grande carovana era stata attaccata e rapinata da una banda di nomadi persiani e quasi tutti i suoi compagni erano stati uccisi. Egli, il padrone, era riuscito miracolosamente a salvarsi  nascon­dendosi nella sabbia tra i corpi inanimati dei suoi schiavi.

Quando ebbe terminato il racconto delle sue sventure, ci chiese con voce tremante: «Non avete per caso qual­cosa da mangiare? Sto morendo di fame».

«Ho tre pagnotte» risposi.

«Io ne ho cinque» disse l’Uomo Che Contava.

«Allora» fece lo Sceicco, «vi scongiuro di dividere le vostre pagnotte con me. Vi propongo uno scambio ragio­nevole. Vi darò per il pane Otto monete d’oro, non appena giungerò a Baghdad». E così dividemmo tra di noi le pagnotte.

Il giorno dopo, tardi nel pomeriggio, entrammo nella famosa città di Baghdad, Perla dell’Oriente.

Attraversando una piazza affollata e rumorosa, fummo bloccati dal passaggio di una sfarzosa comitiva alla cui testa cavalcava, su di un elegante sauro, il potente visir Ibrahim Maluf. Vedendo lo sceicco Salem Nasair in nostra compagnia, fece fermare il suo brillante seguito e lo inter­pellò: «Cosa ti è capitato, amico mio? Come mai arrivi qui a Baghdad così mal ridotto, in compagnia di questi due stranieri?

Il povero Sceicco gli narrò nei dettagli quanto gli era accaduto in viaggio, lodandoci ampiamente.

«Ricompensa subito questi due stranieri» ordinò il Vi­sir. Prese dalla borsa otto monete d’oro e le diede a Salem Nasair dicendo: «Ti porterò subito con me a palazzo poi­ché il Difensore dei Fedeli vorrà di sicuro essere informato di questo nuovo affronto dei banditi beduini, che osano attaccare i nostri amici e saccheggiare una carovana sul territorio del Califfo»

A questo punto Salem Nasair ci disse: «Prendo conge­do da voi, amici miei. Desidero però ringraziarvi ancora una volta per il vostro aiuto e, come avevo promesso, compensarvi per la vostra generosità». E, rivolgendosi all’Uomo Che Contava: «Ecco cinque monete d’oro per i tuoi cinque pani». Poi a me: «E tre a te, mio amico di Baghdad, per le tue tre pagnotte».

Con mia grande sorpresa l’Uomo Che Contava sollevò rispettosamente un’obbiezione. «Perdonami, Sceicco! Ma questa suddivisione, che pure sembra semplice, non è matematicamente giusta. Dal momento che ho dato cin­que pagnotte, devo ricevere sette monete. Il mio amico, che ha ceduto tre pagnotte, deve riceverne soltanto una».

«Per il nome di Maometto! » esclamò il Visir vivamente interessato. «Come può questo straniero giustificare una pretesa così assurda?»

Dal romanzo ‘L’uomo che sapeva contare’ Malba Tahan ed. Salani

E voi? Sapete giustificare matematicamente l’affermazione dell’Uomo Che  Contava?

Basso profilo

Questa volta la proposta di gioco è un pò terra-terra, proprio come mi sento certi giorni (sempre di più ) all’uscita dalle classi…

Quale lettera dell’ alfabeto completa la seguente sequenza?

Q, L, D, A, C, L, S,….

Si parla di giochi, di probabilità di lotto, di win for life.  Spunti interessanti.