Radicali: intanto cominciate a pensare…

Mentre profepa sta spiegando in seconda la proprietà invariantiva, la semplificazione, la riduzione di più radicali allo stesso indice, due  studenti giocherellano con le loro calcolatrici.  I ragazzi scrivono lo stesso numero di 4 cifre e poi ne calcolano, rispettivamente, la radice quarta e la radice sesta. Con grande stupore, entrambi ottengono come risultato un intero. Quale numero hanno scritto all’inizio?

Esercizi guidati di matematica finanziaria

In vista del compito sulle rendite, e soprattutto del test riassuntivo che ancora non abbiamo fissato, ho trovato questi esercizi svolti che potrebbero esservi utili:

montante di una rendita posticipata

montante di una rendita anticipata

valore attuale di una rendita posticipata

valore attuale di una rendita anticipata

valore attuale di una rendita differita

costituzione di un capitale

Qui , inoltre, troverete una spiegazione riguardante il valore attuale di una rendita ad un tempo qualsiasi e qui una  sulla ricerca della rata o del numero di rate.

Questioni di metodo

Gli studenti vengono a scuola per imparare (devo scrivere sul serio?) Gli insegnanti vengono a scuola per insegnare (profe… che sta dicendo?) Dunque abbiamo uno scopo comune: niente più studenti che vengono a scuola per prendere in giro i professori o professori che dovrebbero, secondo voi, venire a scuola per sfogare un malcontento dovuto a esperienze familiari o, chissà, al governo, su dei poveri fanciulli sconosciuti e imbelli. (che vuol dire profe?) Se voi fate quello che vi dico, se seguite le mie indicazioni, se state attenti in classe, se volete davvero imparare e fate tutto ciò che a voi spetta, il vostro profitto a matematica deve essere almeno 6. Se non lo fosse, non sarebbe solo un problema vostro ma nostro. Se io preparo un compito che a me sembra facile per voi e voi non lo fate bene, c’è un problema. Quale problema? Non lo so, ma c’è qualcosa che non va: nel vostro stare in classe, nel mio non capire che non avete capito, nel vostro fare i compiti, nel mio pretendere troppo da voi, nel vostro studiare, nel mio non spiegare, nel vostro pensare alla matematica… che ne so. Quello che so è che un problema c’è. E bisogna eliminarlo.

Proviamo a dare alcune notazioni di metodo.

In classe

In classe la questione più importante è che tu mantenga il contatto con me. Un contatto visivo, intellettivo, affettivo. Dobbiamo guardare tutti alla stessa cosa, dobbiamo mettere lì la nostra curiosità, il nostro interesse, il nostro impegno. e se uno interviene è lui che ascoltiamo.

Tutto ciò che contribuisce a rafforzare questo contatto è “buono”. Tutto ciò che ostacola questo contatto è “cattivo”. parlare con un compagno è cattivo, scrivere sul diario è cattivo, guardarsi allo specchietto è cattivo, annotare sul quaderno le foglie del noce cadute è cattivo, fermarsi al bar invece di rientrare in classe è cattivo. Invece è buono fare domande, ascoltare quello che si dice, prendere appunti, fare osservazioni, dire una battuta intelligente che c’entra con quello che si sta facendo. Prendere appunti è un grosso aiuto che ci diamo per aiutare noi stessi a non distrarsi e per cominciare a fissare nella mente nuove parole, regole, definizioni. Prendendo appunti cominci già a studiare e ti fai un promemoria di quello che la professoressa ritiene importante che tu sappia. Come si impara a prendere appunti? Prendendoli. Semplicemente. Basta aver presente  il duplice scopo appena detto.

Compiti a casa

I compiti a casa non sono, prima di tutto, gli esercizi assegnati: il primo lavoro da fare a casa è riprendere gli appunti, studiarli, riscrivere definizioni e regole, formule e teoremi finché non si è capito, finché non si sanno riscrivere su un foglio bianco. Il libro vi aiuta nei punti poco chiari dei vostri appunti , ma gli appunti sono insostituibili. Fatevi un quaderno degli appunti: un quaderno in cui trascrive gli appunti, quelli importanti, regole, definizioni, termini specifici, proprietà, formule: tutto quello che vi interessa ricordare. Potete usare un mini quaderno o una rubrica o quello che più vi pare, ma dev’essere un lavoro vostro di rielaborazione.

Gli esercizi per casa devono essere scritti a penna (profe…non posso farlo… e se sbaglio?), pensando bene prima di scrivere, senza saltare passaggi, senza fare passaggi di troppo, senza ricorreggere quello che avete appena scritto: abituatevi, invece, a preoccuparvi di una cosa alla volta tenedno sempre presente il contesto in cui lavorate.

Il quaderno non è un libro stampato. Sul quaderno si deve lavorare, sbagliare, correggere, evidenziare: puoi mettere punti interrogativi, punti esclamativi, asterischi, usare penne colorate per evidenziare gli errori o i punti in cui non capisci cosa fare.

metti la data prima di metterti a fare i compiti e prima di prendere appunti: ti servirà per ritrovare quello che ti serve, per segnare le tappe del tuo lavoro.

I compiti in classe

Il compito in classe è il momento in cui si verifica se hai capito e sai orientarti nelle cose che hai imparato (o che dovresti avere imparato)

La prima cosa che il tuo insegnante vuole è che prenda un buon voto. L’ultima cosa che vuole è che tu copi il tuo compito. Quando un alunno copia un compito un professore si arrabbia perché il suo compagno di lavoro, il suo alleato, cerca di fregarlo. E si arrabbia per il tempo buttato , per le parole spese, per il suo lavoro reso inutile; ma si arrabbia soprattutto perché il suo alleato fregando lui frega soprattutto se stesso.

Non importa se il compito è lungo o corto, facile o difficile: quello che importa è che tu ti metta in gioco cercando di mostrare tutto quello che sai. o, a volte, tutto quello che non sai. Ma da qualche parte si deve pur cominciare per imparare.

Il compito si svolge a penna, subito in bella, con molta attenzione: se ci sarà tempo poi riguarderemo quello che non ci torna, quello che ci ha lasciato dei dubbi: eventualmente correggeremo cancellando con un frego e continuando da un’altra parte con un asterisco. quando ci riportano il compito cercherò di capire ogni segno rosso, ogni segnale di errore e riporterò sul quaderno errore e correzione: quell’errore non devo farlo più.

Pane e pensiero

Tre giorni dopo stavamo avvicinandoci alle rovine di un piccolo villaggio chiamato Sippar, quando scorgemmo, steso al suolo, un povero viandante ricoperto di cenci che sembrava gravemente ferito. Era in condizioni pietose. Ci accingemmo a soccorrerlo e in seguito ci narrò la storia della sua sciagura.

Si chiamava Salem Nasair ed era uno dei più ricchi mercanti di Baghdad. Pochi giorni prima, di ritorno da Basra e diretto a el-Hilleh, la sua grande carovana era stata attaccata e rapinata da una banda di nomadi persiani e quasi tutti i suoi compagni erano stati uccisi. Egli, il padrone, era riuscito miracolosamente a salvarsi  nascon­dendosi nella sabbia tra i corpi inanimati dei suoi schiavi.

Quando ebbe terminato il racconto delle sue sventure, ci chiese con voce tremante: «Non avete per caso qual­cosa da mangiare? Sto morendo di fame».

«Ho tre pagnotte» risposi.

«Io ne ho cinque» disse l’Uomo Che Contava.

«Allora» fece lo Sceicco, «vi scongiuro di dividere le vostre pagnotte con me. Vi propongo uno scambio ragio­nevole. Vi darò per il pane Otto monete d’oro, non appena giungerò a Baghdad». E così dividemmo tra di noi le pagnotte.

Il giorno dopo, tardi nel pomeriggio, entrammo nella famosa città di Baghdad, Perla dell’Oriente.

Attraversando una piazza affollata e rumorosa, fummo bloccati dal passaggio di una sfarzosa comitiva alla cui testa cavalcava, su di un elegante sauro, il potente visir Ibrahim Maluf. Vedendo lo sceicco Salem Nasair in nostra compagnia, fece fermare il suo brillante seguito e lo inter­pellò: «Cosa ti è capitato, amico mio? Come mai arrivi qui a Baghdad così mal ridotto, in compagnia di questi due stranieri?

Il povero Sceicco gli narrò nei dettagli quanto gli era accaduto in viaggio, lodandoci ampiamente.

«Ricompensa subito questi due stranieri» ordinò il Vi­sir. Prese dalla borsa otto monete d’oro e le diede a Salem Nasair dicendo: «Ti porterò subito con me a palazzo poi­ché il Difensore dei Fedeli vorrà di sicuro essere informato di questo nuovo affronto dei banditi beduini, che osano attaccare i nostri amici e saccheggiare una carovana sul territorio del Califfo»

A questo punto Salem Nasair ci disse: «Prendo conge­do da voi, amici miei. Desidero però ringraziarvi ancora una volta per il vostro aiuto e, come avevo promesso, compensarvi per la vostra generosità». E, rivolgendosi all’Uomo Che Contava: «Ecco cinque monete d’oro per i tuoi cinque pani». Poi a me: «E tre a te, mio amico di Baghdad, per le tue tre pagnotte».

Con mia grande sorpresa l’Uomo Che Contava sollevò rispettosamente un’obbiezione. «Perdonami, Sceicco! Ma questa suddivisione, che pure sembra semplice, non è matematicamente giusta. Dal momento che ho dato cin­que pagnotte, devo ricevere sette monete. Il mio amico, che ha ceduto tre pagnotte, deve riceverne soltanto una».

«Per il nome di Maometto! » esclamò il Visir vivamente interessato. «Come può questo straniero giustificare una pretesa così assurda?»

Dal romanzo ‘L’uomo che sapeva contare’ Malba Tahan ed. Salani

E voi a chi date ragione? Ovviamente all’Uomo Che Contava, spero… ma come giustificare la sua affermazione?

Rotture e nuovi orizzonti

Gli irrazionali sono stati una bella gatta da pelare, un grande sconquasso, un terremoto in quelle che erano certezze sul mondo. Immaginatevi di essere lì a chiedervi qual è il senso del mondo, quale il legame che tiene insieme tutte le cose e me stesso che le guardo. Immaginatevi di non sapere nemmeno che qualcuno dopo migliaia di anni vi chiamerà filosofo o matematico. Immaginatevi di aver scoperto cose meravigliose della realtà, di aver guardato i numeri e di aver visto in quei puntini che si disponevano magicamente in triangoli, quadrati qualcosa di più di semplici puntini: quasi riuscissero a leggere ed interpretare tutta la realtà. Tutto è numero, tutto può essere espresso come rapporto di numeri naturali: se prendi due coppie di segmenti puoi sempre trovare un sottomultiplo comune, cioè un segmento che sia contenuto un numero intero di volte nell’uno e nell’altro. O, in altre parole, che uno sia una frazione dell’altro. O, in altre parole ancora, che i due segmenti siano commensurabili. Immaginatevi di fondare su questo tutta la vostra idea del mondo e della realtà.

Immaginatevi che sia proprio uno dei vostri, uno che ha condiviso con voi scoperte, idee, certezze che dice che tutto questo non è vero: proprio la diagonale di un quadrato di lato 1 non è commensurabile col lato. C’è chi dice che Ippaso sia affogato in un naufragio, magari per volere degli dei che lo hanno punito per la sua arroganza, c’è chi dice che qualcuno della setta lo abbia fatto affogare in qualche fontana. qualcuno narra che sia fuggito in preda alla vergogna. Sembra che i pitagorici abbiano eretto il suo monumento funebre mentre era ancora in vita.

Proclo parla così della sua scomparsa: «I pitagorici narrano che il primo divulgatore di questa teoria [dei numeri incommensurabili e quindi irrazionali] fu vittima di un naufragio; e parimenti si riferivano alla credenza secondo la quale tutto ciò che è irrazionale, completamente inesprimibile e informe, ama rimanere nascosto; e se qualche anima si rivolge ad un tale aspetto della vita, rendendolo accessibile e manifesto, viene trasportata nel mare delle origini, ed ivi flagellata dalle onde senza pace».

E i pitagorici persero, forse, un’occasione per imparare che è necessario piegarsi alla realtà e obbedire alle teorie da loro stessi create anche quando aprono a cose nuove e impreviste. ma da allora, che io sappia, nessun matematico ha fatto mai più il loro errore: ogni breccia nei muri apparentemente perfetti non ha fatto nient’altro che aprire a nuovi orizzonti.

Brioscine

Che c’è di male a mangiarsi una brioscina al bar chiacchierando in piacevole compagnia? Niente di niente. Anzi, direi che è una cosa molto piacevole. Quasi da consigliare agli amici. Perché una prof si arrabbia se uno studente mangia una brioscina al bar? Perché è nervosa, perché è cattiva e ci impedisce di godere del mondo, perché si approfitta del suo potere su di noi, sento le voci degli studenti. Forse.

Ma forse no.

Forse è perché pensa che il suo lavoro sia importante, che un’ora di lezione sia un’ora di lezione e non di intervallo; forse ha prepararto una lezione e credeva (illusa) che potesse interessare a qualcuno.

Alle mie alunne ricciolute (altrimenti si sentono escluse…)

Questo è il link al video della voce pacata e fascinosa che vi spiega la retta per un punto e parallela ad una retta data con i due modi che vi ho spiegato oggi (fascio proprio e fascio improprio: la formula è ovviamente valida solo per trovare la retta per due punti).

 

Compiti in classe

Qui trovate il compito di matematica della prima e quello di seconda (una sola fila) Spero che sappiate riconoscere il vostro!

Illusioni ottiche

Ebbene sì, mi avete fatto studiare!
Il cartellone sulle illusioni ottiche mi ha fatto andare a cercare di scoprire qualcosa di più di quello che sapevo. In particolare (ovviamente) mi sono soffermata sulle illusioni geometriche: sono delle illusioni cognitive, cioè, se ho capito bene leggendo wikipedia, il nostro cervello interpreta male ciò che vede a partire da conoscenze che ha accumulato dall’esperienza reale ma che nel caso particolare risultano come dei pregiudizi (mia libera interpretazione) e quindi fanno sbagliare. Tipico esempio è l’inserimento nel foglio di un punto di fuga, cioè di un punto in cui sembrano congiungersi verie rette. L’illusione di Ponzo è un esempio di quello che cercavo di dire.

Il segmento in alto ci sembra più grande di quello in basso ma sono uguali: il nostro cervello percepisce la terza dimensione e, in tal caso, il segmento più in alto, essendo più lontano sarebbe davvero più grande.

Gli stereogrammi sono illusioni ottiche che andavano di moda negli anni 80/90: un’insieme (apparentemente)  casuale di punti o figure ripetute, se guardato in un certo modo, nasconde figure tridimensionali.

Se avete voglia di scoprire cosa ha a che fare il Partenone con le illusioni ottiche e un sacco di altre cose vada a dare un’occhiata a questo sito

Se volete imparare a vedere ‘dentro’ gli stereogrammi guardate questo video

Bottiglie e nastri

Ecco un video che vi da l’idea di cos’è una bottiglia di Klein e vi mostra la relazione con il nastro di Moebius.

Guardate qui che chicchina ho trovato… questa Nancy Today non l’abbandono più! Guardate con che gioia vi mostra il suo nastro di Moebius…

 

E perché non farsi un cappello a forma di bottiglia di Klein?

 

Le facce delle mie alunne

Le mie alunne hanno capelli lunghi e lisci con il ciuffo sulla fronte che sembra finto da quanto è perfetto. Le mie alunne a volte hanno gli occhi tristi sotto il ciuffo perfetto. Le mie alunne hanno sempre uno specchietto nel diario per controllare se l’eyeliner non si sia sciupacchiato un po’. Le mie alunne si levano le scarpe se la mattina piove e si sono bagnate i piedi, mi dicono che hanno le mestruazioni e mi mostrano bustine di antidolorifici che io non ho mai preso, entrano tardi a scuola perché sono fuori a fumare e non sanno che ore sono,  scrivono paginate di TI AMO invece di fare matematica, messaggiano sotto il banco pensando che io non le veda, vanno a ripetizione ma chiacchierano tutta l’ora, salutano dalla finestra i ragazzi della scuola vicina che giocano a calcio. Le mie alunne ridono così forte che se passi dal cortile le senti ridere dal secondo piano. Le mie alunne sono sempre ben vestite, truccate e curate ma se chiedi quanto fa due per tre… tirano ad indovinare e se spieghi le equazioni di I grado fratte ti dicono: ma prof… se facciamo adesso le cose così difficili… cosa faremo in terza e quarta e quinta?

Statistica descrittiva

Questo è il file di una esercitazione in excel che faremo in laboratorio.

statisticadescrittiva

Il problema più importante per noi…

Il problema fondamentale della matematica scolastica è che non contempla problemi. Oh, conosco bene quelli che vengono spacciati per problemi durante l’ora di matematica, conosco quegli esercizi insipidi. “Questo è una tipologia di problemi, e questo è il modo per risolverlo. Sì, sarà inserito nella verifica. Per casa fare gli esercizi dispari dall’uno al trentacinque.” Che modo triste di imparare la matematica: gli studenti si riducono ad essere delle scimmie ammaestrate.

Ma un problema, un quesito autentico, lineare, genuino, umano, è tutta un’altra cosa. Quanto è lunga la diagonale di un cubo? I numeri primi non finiscono mai? L’infinito è un numero? In quanti modi posso ricoprire una superficie con piastrelle simmetriche? La storia della matematica è la storia dell’umanità che si scontra con quesiti come questi, non il vago rigurgito di formule e algoritmi (insieme ad esercizi artificiosi ideati per poter far uso di quelle formule e di quelli algoritmi).

Un buon problema è qualcosa che non si sa come risolvere. E’ questo che ne fa un valido enigma, e una valida opportunità. (…) Date ai vostri studenti un buon problema, lasciate che si sforzino di risolverlo, che si sentano frustrati. Osservate quello che riescono ad inventarsi. Aspettate finchè il loro desiderio di trovare un’idea non si fa insopportabile, e allora fornite loro qualche strumento. Ma non troppi.

da Contro l’ora di matematica

Un manifesto per la liberazione di professori e studenti

di Paul Lockhart

Equazioni impossibili o no?

Facciamo un ripasso sulle equazioni semplici semplici ma spesso le cose semplici sono per voi più difficili
Facciamo tre esempi diversi tra loro come il giorno dalla notte ma simili esteticamente: 4x=0; 0x=0; 0x=4.
Come notazioni dirò alcune cose che, spero, siano banali per tutti: 4x vuol dire 4 per l’incognita x; risolvere un’equazione significa determinare le soluzioni, cioè quei numeri che, sotituiti all’incognita, trasformano l’equazione in un’uguaglianza vera.
Cominciamo:
4x=0
Devo cercare quei numeri reali che moltiplicati per 4 danno come risultato 0: solo lo 0, per sua caratteristica, essendo l’elemento, assorbente soddisfa la condizione richiesta. Quindi l’equazione è determinata ed ha come soluzione solo lo 0. Quello che ho detto vale anche quando al posto del 4 c’è un qualsiasi altro numero reale diverso da zero.

0x=0
Ogni numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0. Quindi l’equazione ammette come soluzione un qualsiasi numero reale (e anche complesso…). E’ una identità.

0x=4
Ogni numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0. Quindi nessun numero moltiplicato per 0 dà 4: nessun numero è soluzione, cioè l’equazione è impossibile.

Appunti di geometria analitica lez.3

Appunti di geometria analitica lez.3

Esercitazione sulle rette:

 

1)     Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A(-1,3) e B(1,-2).

2)     * Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A(-3,8) e B(-3,2).

3)     * Scrivi l’equazione della retta passante per il punto P(4,-1/3) e parallela all’asse delle ascisse.

4)     Scrivi l’equazione della retta passante per il punto P (1/2,-2) e perpendicolare alla retta x-3y-4=0.

5)     Qual è  il punto di ascissa – 1 della retta y = – x – 5 ?

6)     La retta y = -4x – 2 passa per il punto P(-2,-10) ?

7)     Scrivi l’equazione della retta passante per l’origine e parallela alla retta 3y = 4 – 3x.

8)     Scrivi l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto C(3,1).

9)     Scrivi l’equazione della retta passante per il punto D(0,- 4) e avente coefficiente angolare    –3.

10)  Scrivi l’equazione del fascio di rette parallele alla retta  3x-2y+5=0.

11)  Scrivi l’equazione del fascio di rette perpendicolari alla retta  y = -3/4 x + 3/5.

12)  * Scrivi l’equazione della retta passante per A (1,4) e parallela all’asse delle ascisse.

 

* Attenzione! Sono rette particolari con equazioni particolari e hanno equazioni particolari. Puoi scrivere le equazioni solo ragioando e guardando il grafico, senza fare nessun procedimento o calcolo.

 

Test con soluzioni

Test a scelta multipla numeri naturali e frazioni della classe prima.

Test a scelta multipla sui monomi e polinomi della classe seconda.

Guardate le soluzioni e cercate di capire perché sono corrette. Casomai chiedete.

Baci e abbracci.

Prof

Individuiamo uno schema di calcolo

L’altra settimana, nella mia classe prima, ho lanciato questa  proposta:

“Provate ad individuare un trucco per poter calcolare più velocemente il quadrato di un numero la cui cifra delle unità sia uguale a 5?”

L’unico aiuto fornito è stato quello di provare ad eseguire alcuni di questi quadrati ed osservare i risultati ottenuti… Qualcuno ci ha provato davvero ed è riuscito anche a spiegare agli altri compagni.

Volete provare?

I quattro 4

Visto che siamo a parlare di cifre, di numeri naturali, di precedenza tra le operazioni e dell’uso delle parentesi, vi pongo un problemino semplice ma interessante: con quattro 4, le operazioni e, magari, qualche parentesi, riuscite a scrivere dieci  espressioni il cui risultato sono le dieci cifre del sistema metrico decimale?

 

I numeri naturali: questi mostri sconosciuti

Provate a svolgere i seguenti test online e scrivete qui sotto il vostro primo risultato e quello a cui  siete arrivati riprovando, le domande e le osservazioni:

Test sui numeri naturali: operazioni e proprietà. (da www.matematicamente.it)

Test sulle operazioni con i  numeri naturali (da www.itg-rondani.it)

Divisore, dividendo, divisibile, multiplo: facciamo chiarezza in questo mondo confuso?

Un numero naturale a si dice multiplo di un numero naturale b se a=n*b, dove n è un numero naturale. Si può dire anche che a è divisibile per b, cioè che la divisione di a con b ha un quoziente intero con resto 0. Si dice anche che b è un divisore di a.

NOTA BENE: a e b non sono interscambiabili perché la divisione non gode della proprietà commutativa: se a è divisibile per b, b è divisore di a. Divisibile e divisore non sono sinonimi.

Esempio: 30 è multiplo di 5; 30 è divisibile per 5; 5 è un divisore di 30.

Provate a fare questo test online scrivendo nei commenti il vostro punteggio e le eventuali domande o osservazioni

Ci sono dei criteri per stabilire se un numero è divisibile per un altro: ne avevamo parlato ed alcuni non me li ricordavo. Li ho trovati su internet. Alcuni sono facili da capire, altri un po’ meno: li sappiamo dimostrare?

CRITERI DI DIVISIBILITA’

Un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari.
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3.

Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4

Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5

Un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3

Un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7. » per es. 95676 è divisibile per 7 se lo è il numero 9567-2*6=9555; questo è divisibile per 7 se lo è il numero 955-2*5=945; questo è divisibile per 7 se lo è 94-2*5=84 che è divisibile per 7 dunque lo è anche il numero 95676.
Un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se è divisibile per 8 il numero formato dalle sue ultime 3 cifre
Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9

Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0

Un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11 » per es. 625834 è divisibile per 11 in quanto (2+8+4)-(6+5+3)=14-14=0

Un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4

Un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13 » per es. 7306 è divisibile per 13 se lo è il numero 730+4*6=754; questo è divisibile per 13 in quanto 75+4*4=91 è multiplo di 13 (13*7=91)

Un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17 » per es. 2584 è divisibile per 17 se lo è il numero 258-5*4=238; questo è divisibile per 17 se lo è il numero 23-5*8=17

Un numero è divisibile per 25 se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25, cioè 00, 25, 50, 75

Un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00

Provate a svolgere i seguenti test online e scrivete qui sotto il vostro primo risultato e quello a cui  siete arrivati riprovando:

Test sui numeri naturali: operazioni e proprietà. (da www.matematicamente.it)

Test sulle operazioni con i  numeri naturali (da www.itg-rondani.it)